测量结果的详细表达与示意图
本帖最后由 史锦顺 于 2017-1-30 15:52 编辑-
测量结果的详细表达与示意图
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史锦顺
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引言基本定义的公式表达
误差表示测得值与被测量真值的差距。依应用场合的不同，有三种含义：误差元、误差范围或泛指二者。
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误差元：测得值减真值
r = M-Z （1）
误差范围：误差元的绝对值的一定概率（99%以上）意义上的最大可能值
R =|r|max = |M-Z|max （2）
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误差范围是误差理论的基本概念，它贯通于测量仪器的研制、计量、应用测量三大场合。误差范围又称为：极限误差、准确度、准确度等级、最大允许误差等。
误差元是构成误差范围的元素。误差元是误差分析的基础。误差元的定义提示：误差分析就是求测得值函数的差分或微分。有了误差元，才能求出误差范围，并使误差范围有明确的物理意义。误差范围的定义，体现了误差量的两大特点：绝对性和上限性，也提示了推导公式的基本方法是解绝对值方程和找绝对值的最大值。
公式（1）与公式（2）是误差理论的基本公式。是测量计量理论公式化即严格化的基础。
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1 测量结果的简化表达
1.1 公式推导
从公式（2），可以方便地推导测量结果的公式。
物理公式是关于真值的关系式。表征仪器物理机制的物理公式为
Z = f (X1,X2,……XN) （1.1）
Z为被测量的真值。Xi是仪器各构成单元作用量的真值。
测量仪器的计值公式为
M = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) （1.2）
m表测得值，o表标称值，二取其一。
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误差元为
r = M – Z
= f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) - f(X1,X2,……XN) （1.3）
误差元的绝对值的最大值为
│M-Z│max= │f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) - f(X1,X2,……XN)│max （1.4）
这个“误差元绝对值的最大可能值”就是误差范围，记（1.4）式右端为误差范围R(恒正), 有
│M –Z│max= R （3）
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公式（3）是一个基本公式。本节前面的推导，是测量仪器误差范围本身的内容表达；下面由误差范围的定义，推导测量结果的公式。
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去掉（3）式最大值符号，有
│M – Z│ ≤ R （1.5）
解绝对值关系式（1.5）
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当 Z＜M时
∵ M – Z ≤ R
∴ Z ≥ M - R （1.6）
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当Z＞M时
∵ Z - M ≤ R
∴ Z ≤ M + R （1.7）
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综合（1.6）式、（1.7）式，有
M-R ≤ Z ≤ M + R （4）
（4）式简记为
Z = M ± R （5）
（5）式是测量结果的表达式。简称测量结果。
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1.2 测量仪器的误差范围指标值，就用为测量中测得值的误差范围值
测量仪器示值误差的定义：在正常工作环境下，测量仪器示值与被测量真值之差
r仪 = M-Z （2.8）
R仪= |r仪|max = |M-Z|max （2.9）
同一规格型号的仪器，标有误差范围的同一指标值，记为R仪/指标。
测量误差的定义式是（1）（2），有
R测 = R = R仪
∵R仪 ≤ R仪/指标
∴R测 ≤ R仪/指标
故可用R仪/指标表示R测，保守计算，有：
R测 = R仪/指标
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用测量仪器测量被测量，在仪器的正常工作条件下，测得值的误差范围不会超过测量仪器的误差范围指标值。因此，用测量仪器的误差范围指标值当测得值的误差范围，是冗余代换。不必另行评定，就认定：
R测 = R仪/指标（MPEV） （6）
根据公式（6），测量工作中，用测量仪器的误差范围指标值，当做测得值的误差范围.这对实际工作是十分方便的。
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2 测量结果的详细表达
着眼于全区间的简化表达式为
M-R ≤ Z ≤ M + R （4）
M是测得值，Z是被测量的真值，R是误差范围。
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2.1 R的表达
定义式
R =|r|max = |M-Z|max
r = M-Z=M平±3σ - Z
r = β±3σ （7）
（7）式之二项取方根，就是一项系统误差与一项随机误差范围的合成，为：
R =√[β2+(3σ)2] （8）
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2.2 测量结果的详细表达
系统误差β的幅度|β|是恒定值；而其符号，可能是正值，也可能是负值。这样，被测量真值存在区间的负极值为
-R= -√[(-|β|)2+(3σ)2] （9）
被测量真值存在区间的正极值为
+R= +√[(+|β|) 2+(3σ)2] （10）
关于公式（9）（10）符号的说明：在被测量真值存在区间的表达中，测得值M平是比较标准，是常量，而被测量的真值Z是变量。故下界点是-|β|，而上界点是+|β|。
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着眼于全区间的测量结果的详细表达为
M平 -√[(-|β|)2+(3σ)2] ≤ Z ≤ M平 +√[(-|β|)2+(3σ)2] （11）
（11）式是测量结果，简记为
L真= M平±√[β2+(3σ)2] （12）
与测量结果详细表达式（11）相应的被测量存在区间的表达式为：
【-√[(-|β|)2+(3σ)2] ，+√[(-|β|)2+(3σ)2]】 （13）
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2.3 测量结果的示意图
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此图有点难画。怎样才能表达清楚，请网友指教。
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3 不确定度理论图示的错误
3.1 叶德培原图
此图载于《中国计量》2013.8 《测量不确定度评定与表示》系列讲座 《第二讲 测量不确定度评定中的一些基本术语及概念(一)》。
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说明：
Yo：被测量的真值
y:测得值
U： 扩展不确定度
y-U: 区间下界
y+U: 区间上界
Δ： 系统误差（测得值减真值）
3.2 图2的来源
此图不是叶先生的独创，其根源来自GUM（D6图解说明）。画得易懂些。本文的否定性评论，针对的是GUM，不是只限于叶先生。
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3.3 论图2
1 分散性的图解
不确定度的主定义说：不确定度是分散性。这张图体现了这一点。不确定度区间是
（14）
这个区间的范围，仅限于随机误差。不包括被测量的真值。
2 违背VIM3的定义
图2的区间不包含真值，区间就毫无意义。这个图解，违背了VIM3的“不确定度为半宽的区间包含真值”的正确说法，因而图2 是个有根本性错误的错图。
3 正确的区间与画法
图中的U仅是扩展不确定度的一部分，要记为U(随机)，而Δ是系统误差。因系统误差仅有一个，与随机误差合成U95，用“方和根法”。有
U95 =√(U2+Δ2) （15）
这样构成的区间95，y+U95]，必然包含被测量的真值，就是有意义的区间了。
B 史锦顺改图
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附件与上面图形重复，删掉。
补充内容 (2017-1-31 07:24):
（11） 式改为： M平 -√[(-|β|)^2+(3σ)^2]≤Z≤M平 +√[(+|β|)^2+(3σ)^2] （11）
本帖最后由 285166790 于 2017-2-7 08:51 编辑
csln 发表于 2017-2-6 18:19
还要什么规范性的准则呢，GUM、JJF 1059还不够明确吗，有定义、有公式、有说明，谁同U95相联系，谁同U95 ...
谁同U95相联系，请看GUM、JJF 1059中测量模型的范例，不要看以误差建立的那种测量模型，那种体现不出，还可以看看测量不确定度分量的组成，看看为什么要引入计量标准的不确定度分量，而不是被校仪器的。或者你亲自建立一个测量模型，并对被测量Y给出定义，看看所谓100%不包括真值的测量模型是什么样的。不是我要背书，规范中的内容要是不吃透，没法分析问题。 本帖最后由 史锦顺 于 2017-1-31 08:11 编辑
(2.2 更改如下)
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2.2 测量结果的详细表达
系统误差β的幅度|β|是恒定值；而其符号，可能是正值，也可能是负值。这样，被测量真值存在区间的负极值为
-R= -√[(-|β|)2+(3σ)2] （9）
等效表达为
-R= -√[β2+(3σ)2] （9'）
被测量真值存在区间的正极值为
+R= +√[(+|β|)2+(3σ)2] （10）
等效表达为
+R= +√[β2+(3σ)2] （10'）
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关于公式（9）（10）符号的说明：在被测量真值存在区间的表达中，测得值M平是比较标准，是常量，而被测量的真值Z是变量。故下界点是-|β|，而上界点是+|β|。
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着眼于全区间的测量结果的详细表达为
M平 -√[β2+(3σ)2] ≤ Z ≤ M平 +√β2+(3σ)2] （11）
（11）式是测量结果，简记为
L真= M平±√[β2+(3σ)2] （12）
与测量结果详细表达式（11）相应的被测量真值存在区间的表达式为：
【-√[β2+(3σ)2] ，+√[β2+(3σ)2]】 （13）
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补充内容 (2017-1-31 09:59):
（11）式应为： M平 -√[β^2+(3σ)^2] ≤ Z ≤ M平 +√[β^2+(3σ)^2] （11） 我认为史老师关于误差理论的解释和图1的表示都是正确的。测得值的平均值M平距离被测量真值Z的距离为“系统误差”，随着测量次数的增加系统误差也就趋于一个固定不变的值。倒钟形区域内的值是所有的测得值，其中±3σ区域半宽就是测得值在置信概率99.73内的随机误差（包含过去所说的“未定系统误差”）。所有的测得值（倒钟形范围内）都在允许的测量上下限Z上和Z下之内，因此所有的被测件均判为合格。
对于图2，史老师说是叶德培老师给出的不确定度理论图示。对于这个图示，基本上也是正确的，我认为唯一错误仅在于把y和Y0的含意写反了，“ Yo：被测量的真值， y:测得值 ”应该改为“Yo：测得值， y:被测量的真值”。因为根据“测量不确定度”的定义，不确定度应该是估计的被测量真值所在区间的半宽，而不是被测量测得值所在区间的半宽，被测量测得值所在区间的半宽应该称为“测得值误差范围的半宽”，与“估计的真值所在区间半宽”完全不是一个概念。
对于史老师修改的图（不妨叫图3），如果将符号含意明确为：Yo：测得值， y:被测量的真值，Δ：系统误差，U：扩展不确定度，U95改写为Δmax：测得值最大误差，也就顺理成章了。因为真值具体大小测量者无法知晓，但可以凭测量方法的有用信息估计在倒钟形的区间内，假设真正的真值就在倒钟形对称中心的右侧距离测得值Y0为Δmax（图中的U95）处，测得值Y0与真值的距离就应该是该测得值的实际最大误差Δmax。所有测得值的平均值加减最大误差限定的区间就是在合理的置信概率下，全部测得值的分散性区间，这个区间只要不超出被测参数允许的上下限限定的区间，就都可以判为合格。当然，做出这个判断还有一个前提条件，那就是扩展不确定度U不得大于被测参数允许的上下限限定的区间宽度的1/3（注：如果是校准则为不得大于1/6）。
（试发，征求意见）
史老师没有给出4楼“被测量真值存在区间示意图”所用符号的含意。我按史老师使用符号的习惯理解为：Z代表被测量真值，Z上限和Z下限分别代表被测量真值存在区间的上限值和下限值；M代表被测量的测得值，因此M平代表同一被测量的众多次测量的测得值算术平均值；R代表被测量测得值的测量误差，本图中的R则代表被测量众多测得值的算术平均值的误差绝对值。不知道我的理解是否正确？
如果正确，我还有二个疑问：为何图中有三个符号Z？其中Z到M平的距离β代表什么含义？请史老师指教。 本帖最后由 史锦顺 于 2017-2-2 18:04 编辑
测量结果示意图
Z：真值，横轴变量
M平：测量仪器示值平均值，即测得值
β：测量仪器的系统误差
σ：测量仪器的随机误差
R：误差范围。误差元绝对值一定概率（99%）意义上的最大可能值
Z上限Z下限：被测量真值存在区间的上限值与下限值
本帖最后由 njlyx 于 2017-2-2 19:13 编辑
史锦顺 发表于 2017-2-2 17:35
测量结果示意图
Z：真值，横轴变量
M：测量仪器示值平均值，即测得值
绘此图时宜先明确两个"前提":
1.被测量是否近似为"常量"？即，真值Z是否近似"唯一"？
2.以"M平"为中心分布的那若干"测得值"是否属于同一个"重复测量"？
若这两条是"肯定"答案，则相对容易绘出---所谓"经典误差理论"的著作大都恰当呈现了“此图”！
若其一、甚至二者为"否"，则不易恰当绘出。
谢谢史老师6楼的补充说明和示意图的修改。
我赞同7楼的观点。
另外我补充一点：因为6楼示意图是“被测量近似为常量，即，真值Z近似唯一"的情况，因此Z上限Z下限的含意应改为：被测量测得值存在区间的上限值与下限值，Z(β)或Z(-β)就是修正了系统误差后的被测量真值最佳估计值或称被测量参考值。图中无测量不确定度的什么事，和测量不确定度无关。 本帖最后由 史锦顺 于 2017-2-2 23:33 编辑
6#的《测量结果示意图》，是鸡年春节期间老史的最新研究心得。算不算研究成果，可能看法不同，可以慢慢品评；但有新意，是任何人也否定不了的。要点是：
1）测得值函数与其反函数——被测量真值函数的区分；
2）确切标识并贯彻坐标图横轴的意义；
3）钟形图该画在哪里。
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6#图的意义是：体现了物理意义、数学推导、测量应用的统一。
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如果此图在书中本来已有，就不会出现叶德培示意图的错误。老史原来的“改图”，虽然表达出了“测量结果区间”，但钟形图的位置是错误的，这里面包含着“测得值函数”与“真值函数”的混淆。
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瞭望一眼，就断然说：书上有。哪里有？谁见过如此“双峰”图？
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测量结果示意图，既是误差理论的，也必然能用于不确定度理论。因为讲的是同一对象——“测量结果”。承认6#的图，就必然要否定叶德培的图2。怎能说与不确定度没关系？
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瞭望一眼，说书上有恰当的"此图"，并非肯定6#的图！6#图确是前所未见，不过不伦不类，不值得评论。 叶德培的图不能简单的说错了，首先，广义上的”测量“并不是“计量”，不一定具有溯源性；其次，即使是“计量”，真值仍然有一定概率落在区间外，所以真值画在区域内或区域外，都是可以理解的。 本帖最后由 csln 于 2017-2-3 11:44 编辑
叶先生的图没有任何错误，不管是通常意义上的测量还是计量都是适用的
要先看看自己是否明白了测量不确定度与仪器不确定度的不同 “包含概率”指的是对“估计值”的包含概率，至于“估计值”本身是否来自于标准器还是别的仪器，则不一定，具体情况具体分析，所以一定把“真值”放在“包含区间”里没有必要的。 285166790 发表于 2017-2-4 11:10
“包含概率”指的是对“估计值”的包含概率，至于“估计值”本身是否来自于标准器还是别的仪器，则 ...
您这个"估计值"是什么？与"测得值"是什么关系？与"测量不确定度"关联的那个"包含区间"的"中心"有没有关系？………您进行"测量"的"目标"是什么？ njlyx 发表于 2017-2-4 13:47
您这个"估计值"是什么？与"测得值"是什么关系？与"测量不确定度"关联的那个"包含区间"的"中心"有没有关 ...
“估计值”全称”被测量的估计值“，是”测量结果“这个区间的中心点。”测得值“不是一个专业术语。 285166790 发表于 2017-2-4 15:04
“估计值”全称”被测量的估计值“，是”测量结果“这个区间的中心点。”测得值“不是一个专业术语。 ...
您那是什么“专业”呢？——
本帖最后由 285166790 于 2017-2-4 15:42 编辑
njlyx 发表于 2017-2-4 15:14
您那是什么“专业”呢？——
恩，也算是专业术语，只是较少使用，从它的注解里也清楚地表明了和”被测量的估计值“之间的关系，实际上是一个意思。
至于测量目标当然是尽可能得到真值，但这个话题是就统计学原理的本身的讨论，如果是经过溯源的仪器进行的测量，其测量结果理论上是包含真值的。 本帖最后由 njlyx 于 2017-2-4 15:56 编辑
285166790 发表于 2017-2-4 15:36
恩，也算是专业术语，只是较少使用，从它的注解里也清楚地表明了和”被测量的估计值“之间的关系，实际上 ...
您13#那【 “包含概率”指的是对“估计值”的包含概率，....】不“通”吧？....这“估计值”就在那“包含区间”的“中央”，啥时候会不被“包含”？
“测量目标当然是尽可能得到真值”，那说得“通”的“包含概率”应该是包含“真值”的“概率”——既然是“概率”包含，便存在“真值”实际不落在“区间”内的“可能”性——将“真值”示意标在“9x.x%的包含区”之外本身并不算错。但若是要由此说明【“包含概率”不是包含“真值”的“概率”】，......??
本帖最后由 285166790 于 2017-2-4 16:29 编辑
njlyx 发表于 2017-2-4 15:44
您13#那【 “包含概率”指的是对“估计值”的包含概率，....】不“通”吧？....这“估计值” ...
“估计值”是区间表达的中心值，也是本次测量的“测得值”，是本次包含区间的中心值。但是下一次同样的试验，“估计值”或者“测得值”，就不完全一样了，如果多次重复进行该实验，所得的“估计值”或“测得值”将以一定概率落在我们第一次实验得出的包含区间内，这样解释清楚了吧。
从定义你也可以看出，“包含区间”和"真值“没有直接的关系，如果要跟”真值“挂钩，那是仪器经过溯源的结果。”包含区间“的数学原理来自于统计学的”置信区间“，如果没有溯源环节，那么它只是一项普通的数学计算。
当然，把真值画到不确定度区间里，更加便于理解，毕竟测量主要还是由是经过溯源的仪器所进行的，在这种情况下，绝大多数时候真值是在包含区间里的。 285166790 发表于 2017-2-4 15:57
“估计值”是区间表达的中心值，也是本次测量的“测得值”，是本次包含区间的中心值。但是下一次同样的试 ...
看一下你出具的校准报告，有大量测量结果的包含区间100%不包含真值，叶先生图中真值落在包含区间外的不是1-9*%的部分 本帖最后由 njlyx 于 2017-2-4 17:37 编辑
285166790 发表于 2017-2-4 15:57
“估计值”是区间表达的中心值，也是本次测量的“测得值”，是本次包含区间的中心值。但是下一次同样的试 ...
【 从定义你也可以看出，“包含区间”和"真值“没有直接的关系，....】??
您图附的“定义”恰恰与“真值”密切相关！ “被测量值”是什么？—— 按现行说法，就是“被测量（的真）值”！它与“量的测得值”应该不是一回事。
所谓的“真值”，也可以有“绝对”与“相对”之分。“绝对”的“真值”可能是全世界所有遵守规矩的人们一致认可的“值； 如果只涉及甲、乙双方，那这双方一致认可的“值”就可谓“真值”——相对“真值”。计测人士通常是从追求“真值”的角度关注“测量不确定度”（焦点是“测量误差”）。 单纯“统计”人士可能不然，他们只管统计“量值”样本的“分散性”，不管这些“量值”样本如何获得？——也就无须关注“测量误差”，相应也就不必强调“真值”！ 他们说“量值”就是“量(的真）值”，无须再加个“真”字。 csln 发表于 2017-2-4 17:15
看一下你出具的校准报告，有大量测量结果的包含区间100%不包含真值，叶先生图中真值落在包含区间外的不是 ...
要看清楚“测量不确定度”具体是“谁”的？驴头马嘴的拉扯是没有意义的。
对“测量仪器”实施“校准”，所得“校准结果”的“测量不确定度”【应该针对具体的被“校”参量吧？】，有时不能直接“安”到用被“校”仪器进行“测量”所得的“测得值”后面！
在“(被测量值)Y=(测得值)y±（测量不确定度）U，k=...”的表述下，您看到哪儿有100%不“包含”(被测量值)Y的？ 本帖最后由 csln 于 2017-2-4 18:14 编辑
njlyx 发表于 2017-2-4 17:54
要看清楚“测量不确定度”具体是“谁”的？驴头马嘴的拉扯是没有意义的。
对“测量仪器”实施“校准” ...
其实你自己应该要看清楚“测量不确定度”具体是“谁”的？ ，测量不确定度当然是测量结果的，把其他的东西当成测量结果才是驴头马嘴
你没做过校准，不想同你理论这些事，叶先生作为不确定度的资深专家，不象有些人理解的那么不堪，不会弄一个错误的图误人了弟 本帖最后由 csln 于 2017-2-4 18:21 编辑
njlyx 发表于 2017-2-4 17:54
要看清楚“测量不确定度”具体是“谁”的？驴头马嘴的拉扯是没有意义的。
对“测量仪器”实施“校准” ...
有时不能直接“安”到用被“校”仪器进行“测量”所得的“测得值”后面！是有时能直接“安”到用被“校”仪器进行“测量”所得的“测得值”后面！表达出来的是这个意思吧！
不管你想要表达什么样的意思，这些东西不是你说了算，再加多少！，它还是是什么就是什么
csln 发表于 2017-2-4 18:07
其实你自己应该要看清楚“测量不确定度”具体是“谁”的？，测量不确定度当然是测量结果的，把其他的东 ...
谁的"测量结果"？ 先得将"被测量"是谁搞清楚！以前在别的跟帖中似曾见过你的所谓"100%不包含被测量真值"的"例子"，似乎是将"被测量"弄"歪"了？……"校准"数字电压表，与用数字电压表测某个未知电压，这两个"测量"过程，看上去都是"用表测电压"，但两者的"被测量"是不同的！前者是要"测"数字电压表的"示值(测量)误差"之类，后者的"被测量"才真正是"未知电压"。
叶先生的图，以她老人家自己的阐释为准。在未明本意的情况下不敢说三道四。我质疑的是别人的"发挥"，未见得是先生的本意！