基础测量测量结果包含概率的表达
本帖最后由 史锦顺 于 2018-1-7 10:51 编辑-
基础测量测量结果包含概率的表达
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史锦顺
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思考题
在基础测量（常量测量）中，要取σ平，怎样说明“包含区间”与“包含概率”的问题呢？
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测量有两类：基础测量与统计测量。经典测量是基础测量，现代测量仍然以基础测量为主。随着科技的发展和仪器精密度与准确度的提高，统计测量越来越多。两类测量的性质不同，处理方式不同，因而探讨测量理论问题必须区分两类测量。
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在基础测量中有两种区间：测得值区间与真值区间。
测得值区间体现在测量仪器的研制场合与计量场合。研制场合，确定了测得值区间，计量场合公证了测得值区间。
测量场合，测量者根据测量目的，选用够格的测量仪器进行测量。测量者已知测量仪器的误差范围指标值R仪（默认已经计量合格），就可用R仪当作测得值的误差范围值。设测得值是M平，测量结果为
L真 = M平±R仪 （1）
M平是测量值Mi的平均值，称为测得值。观察几次，如果测量值不变，或尾数仅有一个字的变化，可认定是基础测量，不必进行重复测量。如果有两个字以上的变化，要进行重复测量（取20次或30次，频率短稳要求测100次），按贝塞尔公式计算σ。将计算得到的σ与仪器指标比较，按两类测量的判别条件，认定测量的类别，再分别处理。
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1 统计测量
若
R仪 ≤ σ （2）
R仪可略，认定是统计测量。按统计测量的规则处理。
1）有异常数据要查找原因，不能轻易剔除；
2）不能除以根号N。即用3σ表达被测量的偏差范围；
3）以测量值的平均值表征被测量的量值；
4）被测统计变量的测量结果是
L = M平±3σ
5）被测统计变量的量值区间是
平-3σ，M平，M平+3σ]
6）包含概率
随机变量测量20次以上，即采样次数N≥20，可认定是正态分布。从高斯正态密度分布图可见，取值大于3σ的偏差值很小。（具体计算见前文《偏差区间的包含概率的计算》）
以上是统计测量理论与操作。
注：当对被测量的关注点是稳定度时（如多普勒测速雷达对信源的要求），可放松条件（1），变为
σ仪 ≤ σ/3 （2.1）
β仪 不严格要求 （2.2）
σ仪、β仪是测量仪器的随机误差和系统误差，σ、β是随机变量的随机变化与系统变化。β按工程要求计算；而β仪可用R仪代替。以高稳晶振为标准测量铯原子频标的0.1秒以下采样时间的短稳，标准的准确度可能低4个量级，而只要短稳高3倍，满足条件（2.1）即可。
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2 基础测量
2.1 基础测量的条件
若
σ ≤ R仪/3 （3）
则可认为在现有仪器水平的条件下，测量是基础测量。
注：如果出现如下情况
R仪/3 ＜ σ ＜ R仪 （4）
这是混沌测量，不能判断指标表征量的归属。在实际测量中，要选用指标高一些即R仪小一些的测量仪器，使满足条件（2）或在稳定度测量中满足条件（2.1），使成为统计测量。
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2.2 基础测量的特性
基础测量的被测量（相对仪器而言）是常量或视在常量（N次测量为一场测量，在一场测量中被测量不变）。测得值指标表征量的着眼点是仪器的误差。
测量仪器的原理是一种物理机制，由物理量的真值决定测得值。仪器作用的数学表达是仪器的测得值函数。测得值函数是仪器的测得值对真值的关系。
测得值区间是仪器的测得值函数的简化表达。
M = Z±R （5）
M是测得值，Z是被测量的真值，R是仪器的误差范围。
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误差范围是误差元（测得值与真值之差）的绝对值的一定概率（99%）意义上最大可能值。
仪器的误差，有随机误差与系统误差。系统误差包括恒值的误差，以及长期稳定度，环境影响。
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2.3 随机误差的分布
仪器的随机误差，是随机变量，要用统计的方法处理。
高斯正态分布图，是随机变量概率密度分布图。因此，有关分布、概率计算都是随机误差范畴内的事。（测量计量是时域统计，系统误差为恒值，不是正态分布。）
单值的随机误差，是正态分布，平均值的随机误差也是正态分布。
单值的σ，表示测量值单值对测量值期望值的偏离程度，测量值平均值的σ平就是测量值平均值M平对测量值期望值的偏离程度。
在概率密度分布图上，横坐标取测量值的单值M，图形的意义是随机变量单值的取值的概率密度。因为随机变量的平均值M平也是随机变量，因此横坐标取平均值M平，图形的意义就是平均值M平的取值的概率密度。就是说，高斯正态分布，对对单值M、对平均值M平都成立。只是把横坐标换成M平，σ换成σ平，于是就成为以平均值为自变量的高斯概率密度分布图。标准正态分布的中心点是测量值的期望值（可用平均值的平均值来代表，为方便，直称期望值）。
实验的方法，对σ进行统计，要测量M组，每组N个数。每组得到一个σ，这样就有M个平均值M平i，以及相应的M个σi 。M个σi取方和根。就得到σ平。
在贝塞尔公式的推导中，需利用N×M的模式，顺便可以证明：σ平=σ/√N。有了这个理论结果，就方便多了。实际测量，无论是计量还是测量，就没必要进行N×M的复杂测量，而只要重复测量N次就可以了。既知道了σ，也就知道了σ平。
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2.4 单值随机误差
2.4.1 测量值函数
测量的随机误差元是
εi = Mi- (Z+β)
= Mi - EM （6）
σ = √[(Mi – EM)2/N] （7）
与（7）等价的实验公式是贝塞尔公式
σ = √[(Mi – M平)2/(N-1)] （8）
随机误差的范围是
R随 = 3σ
测量值函数是
M=EM±3σ （9）
测量值区间是
（10）
2.4.2 由单值求期望值
有随机误差的情况下，求测量结果的第一步就是由测量值找期望值。
由测得值函数（9）解得期望值是
EM=M±3σ （11）
期望值的区间是
（12）
以上是单值情况。测量一次，得到一个M。期望值EM=M±3σ的意义是：被测量的期望值的表征量是测量值M。被测量期望值可能小些，但不会小于M-3σ；被测量期望值可能大些，但不会大于M+3σ。
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2.5 多次测量，取平均值的情况
2.5.1 测得值函数
测量N次，得到N个M，求得测量值的平均值M平，称为测得值。按贝塞尔公式求出σ后，即知：
σ平= σ/√N （13）
在以M平为横坐标的测得值概率密度图上，分散性特征值是σ平。
随机误差的范围是
R随 = 3σ平
测得值函数是
M平=EM±3σ平 （14）
测得值区间是
平，EM，EM+3σ平] （15）
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2.5.2 由平均值求期望值
测量是由测得值找期望值。
由测得值函数（14）解得测量结果是
EM=M平±3σ平 （16）
期望值的区间是
平-3σ平，M平，M平+3σ平] （17）
以上是测量N次的期望值。
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期望值与被测量真值间差一个常数。这个常数就是系统误差。以上讨论，可以假设系统误差为零，于是期望值变成真值，更符合通常的理解与习惯。总之，通常书上所称的“取平均值用平均值的σ平”、“取单值用单值的σ”，对基础测量来说是正确的。但在统计测量中不行。统计测量中，被测的统计变量的每个值都是真值，都是客观存在，不能丢。这样，统计测量中，量值的表征量要用M平，而分散性的表征量是σ而不是σ平。只有M平±3σ才能包含全部（99.73%）随机变量。
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区分两类测量，才能正确表达。不区分，混沌是难免的。
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2.6 测量结果
在基础测量中，只知道期望值是不行的，还必须知道系统误差，才能求得真值，而测量的任务是得知真值。即得到真值的最佳表征量与误差范围。
单值测量，误差范围是系统误差β与随机误差范围3σ的合成：
R测1 = √ [β2+(3σ)2 ] （18）
多次测量，误差范围是系统误差β与随机误差范围3σ平的合成：
R测N = √ [β2+(3σ平)2 ] （19）
在研制与计量场合，有计量标准，可以测知仪器的测量误差β，可按（18）式计算R测，给出仪器的测量结果为
Z = M平±R测 （20）
研制与计量场合，R测取R测1，在测量场合如果知道仪器系统误差β，可取R测N。通常，测量时只知道仪器的指标值R指标（MPEV），其中包括σ的作用，因此测量者给出的测量结果为
LZ =M平±R指标 （21）
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3 测量结果的包含概率与包含因子
（ 对思考题的回答。要点是：真值函数是测得值函数的反函数；测得值与真值的距离决定包含概率。基础测量的测量结果区间的包含概率，是对真值的包含概率，包含对象是真值一个值；而统计测量的测量结果区间包含的对象是统计变量的全部值。）
系统误差，是恒值，“包含了”，包含概率就是100%. 因此，基础测量的包含概率问题，是随机误差的事。包含因子只能乘在随机误差σ上，而系统误差β是恒值，不可乘以或除以任何因子（仪器指标可整体留余量，那是另一回事）。
由于总误差对系统误差的包含概率是1，随机误差对期望值的包含概率，就是总误差的包含概率。
A 在研制与计量场合，测量值中心是期望值，包含区间是以期望值为中心的对称区间。单测量值以99.73%的包含概率，处于区间中。
B 在测量场合，一次测量的包含区间是以Mi为中心的以3σ为半宽的区间，这就是测量结果。因为Mi与期望值的距离不大于3σ，则该区间以99.73%的概率包含期望值。测量的任务是找到期望值。测量结果区间中已包含。
同样， N次测量的包含区间是以M平i为中心的以3σ平为半宽的区间，这就是测量结果。因为M平i 与期望值的距离不大于3σ平，则该区间以99.73%的概率包含期望值。这就够用了，达到了测量的目的。
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图1是由测得的Mi而确定包含期望值的区间示意图（原理说明）。
图2是由测得的M平i而确定包含期望值的区间示意图（原理说明）。
图3 是由测得的M平和已知的仪器误差范围而确定包含真值的区间示意图（原理说明）。如果图3中的R是仪器的误差范围指标值R仪（准确度、MPEV），则图3就是直接测量的测量结果的示意图。其中
R=√ [β2+(3σ)2 ]
L真= M平±R
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1、谢谢史老师！
2、想问问，这些图，是用什么软件画的？ 本帖最后由 史锦顺 于 2018-1-12 09:52 编辑
f8c8 发表于 2018-1-11 19:30
1、谢谢史老师！
2、想问问，这些图，是用什么软件画的？
我退休已20.8年。计算机只能算能用，而软件应用水平很低。我文中所有的图都是利用计算机中的“画图”版，手工画出的。
计算机“画图”功能版中，可以标出X轴像素1000的坐标。（x/y=100%）
按“高斯误差概率密度分布函数”（数学手册上有，网上也可查得），找七个特征点：x=0（最大点）；X=1 （取100小格）即1σ点，是图形中直线的中点，即凸凹曲线的转折点；2σ点；3σ点；查表知道与0、1、2、3对应的纵坐标概率密度的值。由于图形对称，同样知道-1、-2、-3各点的纵坐标之值。在各点间，间隔0.1取x点,对应查出Y值（概率密度值），逐点画出。这时，钟形图已大体呈现，再圆滑一下，即可得基本准确的高斯概率密度分布图。这是标准正态分布图（σ=1，EX=0）.
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利用“画图”版的变换功能，取x与Y的比例关系（选σ的不同值），可得高斯无偏正态分布图；再简单平移，即得高斯有偏正态分布图。
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附言：搞测量计量工作，熟知并理解高斯概率密度分布图，十分重要。
贝塞尔公式与高斯正态分布，是测量计量的两项基本理论。是精确而又完美的。但必须明确，这两大理论的前提是随机变量与随机误差。随机误差是随机变量的一种特定形式。
系统误差是另一回事。贝塞尔公式中，因取差值，系统误差不起作用；而在高斯分布理论中，系统误差是曲线对中心线的偏离。系统误差是常量，不能按“统计方式”处理。基于这个基本点，衍生出《史法测量计量学》的新的误差合成方法。
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近几十年来，几个美国人，提出的“不确定度体系”，哲学上是基于不可知论，逻辑上混淆对象与手段的关系。在测量计量的具体学术上，最基本的错误是混淆系统误差与随机误差。系统误差与随机误差，是客观事实，是否定不了的。不同性质的事物，要用不同的方法处理。把处理随机误差的方法，用在系统误差上，不确定度体系便处处出错。其中重要的一条是统计方式的问题。系统误差与随机误差的作用机理、测量计量的实际应用，都是时域统计（统计量随时刻而变化）；而不确定度体系下所谓的分布，都是“台域统计”（统计量依各台仪器而不同）。台域统计仅适用于用多台仪器同时测量一个量的情况，而测量计量的实际情况是用一台仪器重复测量一个量。因此，不确定度体系的分析计算，都不符合测量计量的实际情况，因而都是错误的。
我最近在想，不确定度体系这种世界性错误的发生，与炮制者、应用者对高斯概率分布、贝塞尔公式这两项基本理论的前提与内容的错误理解，关系极大。因此，我自己写了一系列有关的文章，从各个角度来理解和说明这两项基本理论。也希望网友们加深对这两大基本理论的理解。这是测量计量的根本。也是识破不确定度体系错误的有力武器。
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史锦顺 发表于 2018-1-12 09:46
我退休已20.8年。计算机只能算能用，而软件应用水平很低。我文中所有的图都是利用计算机中的“画 ...
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