误差合成的“方根法”—— 测量计量理论与实务探讨（1）

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                            误差合成的“方根法”
                                       —— 测量计量理论与实务探讨（1）
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                                                                                                                                史锦顺
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（一）误差合成的两种思路
       经典误差理论的误差合成，随机误差自身用“均方根法”，随机误差间用“方和根法”，系统误差间用“绝对和法”。方法没能统一。
       GUM为代表的不确定度理论，统一采用“方和根法”，对随机误差的处理与经典误差理论相同，没有问题；但对系统误差的处理，用“方和根法”，出现严重问题。第一，合理性问题。在系统误差合成的条件下，二量和的平方的展开式的交叉项，不能忽略，交叉系数是+1或-1，因而此时不确定度评定中的“假设不相关”是不成立的。第二，为实行“方和根法”，带来五项难题：（1）需知误差量的分布规律、（2）化系统误差为随机误差、（3）假设不相关、（4）范围与方差间的往返折算、（5）计算自由度。其中有的很难，如（1）（4）（5）；有的多数情况不对，如（3）；有的不可能，如（2）。
       本文在网上讨论的基础上，提出统一处理误差合成的“方根法”。“方根法”体现误差量的“绝对性”与“上限性”两个特点，着眼于误差范围，统筹随机误差与系统误差的处理，把系统误差元与随机误差元都变成是误差范围的直接构成单元，用取“方根”的办法实现误差的绝对值化。为此，用可正可负的恒值β代表系统误差元；用三倍的随机误差元3ξi 代表随机误差对误差范围的贡献单元。这样，系统误差β与随机误差元3ξ对误差范围的贡献权重相同，都是1。于是，公式推导与合成处理，都方便，给出的处理办法，十分简洁。
       不确定度理论的思路是将众多的系统误差化向随机误差。此乃“众归一”。但系统误差多种多样，化向随机误差很难，甚至不可能。这就是不确定理论烦难乃至不成立的根源。
       本文的思路是使随机误差对误差范围的权重为“1”，使其与系统误差权重相同。此乃“一从众”。达到此目的的方法极其简单，就是对随机误差元乘以3。
       两种思路，导致处理方法一繁一简，难易分明。不确定度理论的烦难方法，基于不符合实际的臆想（用生产厂家不同、原理不同的多套仪器测量同一个量，系统误差有分布）；本文的方法是基于客观实际（用同一套测量仪器，重复测量中系统误差为恒值）的严格推导。是非曲直，昭然若揭。
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（二）随机误差元构成的误差范围
       随机误差的处理，经典误差理论有成熟、完美的处理方法。
       测量实践中，人们易于认识随机误差。对常量的重复测量中，测得值的随机变化就是随机误差。
       随机误差元可大可小，可正可负。有四个特性：
       （1） 单峰性：小误差概率大；大误差概率小
       （2） 对称性：数值相同的正负误差概率大致相等
       （3） 抵消性：求平均值时正负误差可以抵消或大部分抵消
       （4） 有界性：很大的误差概率很小。（以3σ为半宽的区间，包含概率99.73）。
       按统计理论，随机误差是正态分布。
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       对随机误差，有如下定义与关系：
       1 随机误差元等于测得值减测得值的期望值（当无系统误差时，期望值是真值）。随机误差元的期望值是零。随机误差元为：
                 ξi = Xi- Z                                                                             （1）
       2 标准误差定义为
                 σ =√(1/N)∑ξi                                                                       （2）
       3 贝塞尔公式用测得值的平均值代换（2）式中的期望值，得到：
                 σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2}                                                （3）
       4 随机误差范围
                 R = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
                    =√(1/N)∑(3ξi)^2                                                               （4）
       5 由公式（4），有：
                 R=3σ(ξ)= σ(3ξ)                                                                     （5）
       随机误差元的3倍值（3ξ），其方根值等于误差范围值。因此3ξ对误差范围的权重为1。因此3ξ在构成误差范围时与系统误差的权重相同。以后，我们把随机误差元对误差范围的贡献因子取为1/3，而系统误差的贡献因子取为1。        
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（三）单项系统误差元构成的误差范围   
       系统误差元用β表示。β是可正可负的恒值。
       单个系统误差构成的误差范围
                 R =√(1/N)∑(βi)^2   
                   = |β|                                                                             （6）
       单个系统误差对误差范围的贡献是该系统误差的绝对值。
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（四）误差合成的理论基础
       函数的改变量，等于函数对各个自变量偏微分的和。就是泰勒展开的一级近似。
                f(x,y) = f(xo,yo)+ (∂f/∂x) (x-xo)+ (∂f/∂y) (y-yo)                  （7）
                f(x,y) - f(xo,yo) =(∂f/∂x) Δx+ (∂f/∂y) Δy                             （8）
                Δf =(∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy                                                 （9）
       公式（9）是偏差关系的普遍形式。对所研究的特定函数来说，∂f/∂x、∂f/∂y是常数。
       偏差关系用于测量计量领域，x是测得值，xo是真值, Δx是测得值x的误差元；y是测得值，yo是真值，Δy是测得值y的误差元；f(x,y)是代表被测量的函数值， f(xo,yo) 是函数的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函数值的误差元。
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（五）交叉因子的一般表达  
       设函数的误差由两项误差Δx、Δy引起。由此，函数的两项误差元为：
                Δf(x) = (∂f/∂x) Δx
                Δf(y) = (∂f/∂y) Δy
       把分项误差作用的灵敏系数与该项误差归并，记为：
                Δf(x) =ΔX
                Δf(y) = ΔY

       函数的误差元式（9）变为：
                Δf=ΔX +ΔY                                                                       （10）
       对（10）式两边平方并求和、平均：
                (1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2  
                      =(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2                   （11）
       （11）式右边的第一项为σ(X)^2，第三项为σ(Y)^2; （11）式右边的第二项是交叉项，是我们研究的重点对象。交叉项 为
                2(1/N)∑ΔXΔY =2【(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}】×
                           {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}
                          = 2J√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]                            （12）
       （12）式中的J为：
                 J =(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}             （13）
        称J为交叉因子。
       （注：J在此前记为r，称为相关系数。这和统计理论的相关系数，物理意义不一致。为澄清已有的混淆，本文称J为交叉因子。）
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（六）随机误差间合成的交叉因子  
       对随机误差的合成，ΔX是ξx, 代换为[X-X(平)]；ΔY是ξy，代换为[Y-Y(平)]，有：
                 J =[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yj-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)]                    （14）
       由于ξx、ξy是随机误差，可正可负，可大可小，有对称性与有界性，多次测量，是大量的，因此，随机误差间的合成的交叉因子为零（或可以忽略）。（14）式是当前不确定度论引用的统计理论的相关系数公式。
       随机误差合成，“方和根法”成立，有
                σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2]                                                      （15）
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（七）随机误差与系统误差合成的交叉因子
       两个分项误差，一个是随机的，记为ξ，考虑到对误差范围的权重，取单元量为3ξ（ΔX）；一个是系统的（重复测量中不变），记为β（ΔY）。
       代入公式（13），有
                 J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)]                                                  （16）
       系统误差元是常数可以提出来，有
                 J =(1/N) (3β∑ξi) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}                 （17）
       大量重复测量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似为0，可以忽略。“方和根法”成立。
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（八）系统误差与系统误差合成的交叉因子
       设（13）式中ΔX为系统误差βx ，ΔY为系统误差βy，有
                 √[(1/N)∑ΔX^2]= |βx|                                                           （18）
                 √[(1/N)∑ΔY^2]= |βy|                                                           （19）
       则系统误差的交叉因子为
                 J =(1/N)(∑βxβy) / [|βx| |βy|]                                                （20）
                   =(1/N) (∑βxβy) / [ |βx| |βy| ]
                   =±1
       即有
                 |J|=1                                                                                  （21）
       当βx与βy同号时，系统误差的交叉因子为+1；当βx与βy异号时，系统误差的交叉因子为-1.
       当系统误差的交叉因子为+1时，（11）式为：
                 | Δf | =|βx^2|+2|βx||βy| +|βy|^2   
       即有
                 | Δf | =|βx|+|βy|                                                                   （22）
       （22）式就是绝对值合成公式。
       当系统误差的交叉因子为-1时，（22）式变为二量差的公式。因为通常只是知道系统误差之误差范围，又鉴于误差量“上限性”的特点，二量差的公式不能用。
       测量仪器的性能指标，给出的都是误差范围。
       单值量具，如果上级计量已给出修正值（不是一般的测得值，必须是给出的带有修正误差的修正值），并且已按修正值使用，则该量具的随机误差与修正前相同；而修正后的系统误差等于修正值的误差[(标准的系统误差与随机误差)+被检仪器的随机误差]。
       测量仪器，通常有几千到几十万个测量点。上级计量部门通常只能给出十几个到几十个校准点的修正值。只有这些点（或很接近的点）能修正；杯水车薪，测量仪器的绝大部分的测量点是不能修正的。就是修正过的点，也还是有系统误差的（等于校准时标准的系统误差与随机误差，再加上被校仪器的随机误差）。由于被检仪器的随机误差，经修正操作后转化为被检仪器的系统误差，因此修正并不一定好。除单值量具外，通常，测量仪器是不修正的。
      通常，测量仪器的误差范围指标值由生产厂家给出，由计量部门公证，测量者按仪器指标应用。直接测量，测量仪器的指标，就可看做是测量的误差范围（只要符合仪器使用条件，环境等的影响，已包含在仪器的指标中）。间接测量，要按间接测量的函数关系进行误差合成。测量仪器的误差范围指标值因以系统误差为主，要视其为系统误差值，按系统误差处理。
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（九）关于合成方法的主张
       误差合成，统一按“方根法”。对特定的误差种类，“方根法”分化为“均方根法”、“方和根法”、“绝对和法”、“混合法”。
       通常，测量仪器以系统误差为主。不能无视系统误差的存在。考虑到系统误差、随机误差都是客观存在，提出如下主张：
       （1）随机误差序列，用“均方根法”，随机误差之间，用“方和根法”；
       （2）随机误差范围与系统误差范围之间，用“方和根法”；
       （3）有多项中小系统误差项，仅有一项大系统误差（或没有大系统误差），它们之间的交叉系数，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，这样，可以用“方和根法”。
       （4）直接测量仅有两三项系统误差，要用“绝对和法”（适用于研制中确定仪器指标）；
       （5）间接测量，仅有两三项测量仪器的误差范围，要用“绝对和法”；
       （6）有多项误差，在两项或三项大系统误差之间用“绝对和法”，其余的各种处理，用“方和根法”。总称谓是“混合法”。
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补充内容 (2015-11-11 14:39):
（二）之（4）概率为99.73后加%号。

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       欢迎各位网友就此文表态。或赞成，或反对，或修改，各种意见我都认真听取。以往我回帖较少，此文因关系测量计量的最主要的基本操作，我将每帖必复。
       在认真研究各种意见的基础上，我将再次修改。经几轮反复后，拟向国家主管部门报告。如果得不到答复，再向国家领导机关报告。
       当前，国家推行“大众创业，万众创新”。这是振兴中华的伟大战略，鼓舞我们努力奋斗。在测量计量界，突破GUM/VIM局限，创立有中华特色的测量计量新学说，就是体现这个战略的具体行动。
       学习外国的先进的科学理论是绝对必要的。但要认真思考，消化了，才能吸收。特别是要有所鉴别，盲目地崇洋，就可能上当。
       置疑是创新的前奏。看出问题，不回避，就会有所前进。
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       我特别邀请与本文有关的如下两位学者发表意见。
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崔伟群
       1、你曾对我的“误差方程”提出尖锐意见，当时我们多次交锋。虽然你持批评态度，但我由此而完善了误差方程，我的收益不小。
       2、你关于“系统误差相关系数为+1、-1的论文，对我启发很大，成为我的误差合成观念从“绝对和法”到“方根法”转变的基础。这次我受益很大。
       3、你的两类区分：第一类，用一套测量系统测量，第二类，用多套系统测量，其中这第二类使我对“系统误差的随机性”说、“系统误差的分布”说，有了透彻的理解，弄清了这些说法的根源。原来这是天马行空式的空想。尽管你尚把它当成一类，却使我更看透不确定度论脱离人间实际的本质。更坚定了我全盘否定不确定度论的意志。
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李永新（njlyx）
       不久前才在网上搜查到你的身份，乃博士、教授、博导也。许多网友对我的论点持反对态度，而你却别具慧眼，肯定我对不确定度论的指摘与抨击。我曾说：你是我的知音。后来得知你的身份，更感到这种理解与支持的珍贵。
       语云：“人生得一知己足矣”。你能理解我的基本观点，使我感到后继有人（我生于1937.5，比你大25岁半）。望你能更进一步，打起反对不确定度论、建立中国式新理论的大旗。
       你的区分“量值的特性”与“测量的性能”的观点，我很赞成，这就是我的区分对象与手段的观点，正是我的“两类测量说”的核心思想。你我相距几千里，想到一块了。说明：这是客观规律，总会有人认识到。殊途同归。这是项测量计量的奠基性的工作，希望你能抓紧时机写成论文发表。（由于年龄、精力等的限制，我无力再在刊物上发表文章。）我已发表在网上的全部论述（三百二十篇短文），如果你需要的话，我无保留地全部赠送，不保留任何权益，包括名誉。
       这个“区分”的基本观点，是否定不确定度论的利器（不确定度论在这个问题上混淆了），也是任何测量计量理论的基础。你带博士生，研究透不确定度论的错误、另树旗子，足够十个博士论文的课题内容。同国际计量委员会等八大学术组织战斗而又能全胜，我看，值得有二十个博士与博士后共同或有序地为之战斗。我确信，中国人在世界测量计量界扛旗的一天，一定会到来！
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史锦顺 发表于 2015-11-12 15:52
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       欢迎各位网友就此文表态。或赞成，或反对，或修改，各种意见我都认真听取。以往我回帖较少，此 ...

本人是赞成使用“不确定度”表述的。对“测量不确定度”含义的理解附和都成先生的观点。

站在希望“不确定度”应用健康发展的立场上，认同史先生指摘“不确定度”应用现状中的大部分“问题”，以为它确实有待完善。但基本不赞成先生彻底否定“不确定度”表述的观点。

在“不确定度”表述应用之前，大部分情况下都不会要求“测量者”在报告测量结果（测得值）时必须给出一个“可能的测量误差范围（测量误差限）”值，相应的，对此【“可能的测量误差范围（测量误差限）”值】的“求取”与“表达”缺乏统一的“规范”，侠义的“测量不确定度”“理论”可能就是这么个“规范”而已。先生对“测量误差范围”的“求取”方法及相应概念表述方面做了许多努力，所论概念明确、条理清晰，值得晚辈钦佩。只是以本人的认识，不能认同应该由【（测量）误差（元）——（测量）误差范围】替代【（测量）误差——（测量）不确定度】的“表述体系”。


另：本人并未对“（测量）不确定度”问题进行过系统“研究”，论坛上应该是各叙己见而已，还请先生不要拿网上搜来的那些虚名头示众。

补充内容 (2015-11-12 19:01):
各抒己见

njlyx 发表于 2015-11-12 17:43
本人是赞成使用“不确定度”表述的。对“测量不确定度”含义的理解附和都成先生的观点。

站在希望“不确 ...

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        先生说：“站在希望‘不确定度’应用健康发展的立场上，认同史先生指摘‘不确定度’应用现状中的大部分‘问题’，以为它确实有待完善。”

        先生又说：“（史）先生对‘测量误差范围’的‘求取’方法及相应概念表述方面做了许多努力，所论概念明确、条理清晰，值得晚辈钦佩。”

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        谢谢先生对本人抨击不确定度论活动的肯定，以及对探索误差范围求法的很高的评价。

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        诚然，在对待不确定度论的基本态度上，我们是有分歧的。你已多次表述，不确定度的问题是应用的问题，是讲解者、发挥者的问题。我则认为，不确定度论的错误是根本性的。在哲学、逻辑、物理概念、实际应用各个方面都有根本性的错误。它是不可知论与脱离实际的空想相结合而构成的怪胎，是一种给人找麻烦的伪科学。而且给重大工程造成隐患。我已写出三百多篇网文予以揭发，这里就不重述了。如果有网友指出我的任何一篇文章没道理，我将详细答复。

        我相信先生的鉴别力，有时间可看看我那些文章。我确信：你终将识破不确定度论的假面具，认识到不确定度论的不可救药的本质。当前，我们只能“求同存异”了。

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“不确定度”现状中的许多“问题”，可能是不同行业应用时的关注点迥异而引起的认识“矛盾”，譬如对所谓“系统性”、“随机性”是否应该分类处理的认识{ 赞成史先生对相关说法的批判：【‘系统性影响所引起的’分量/‘随机性影响所引起的’分量】与【‘系统’分量/‘随机’分量】的“称谓”有什么本质区别？！近乎文字游戏。..... 问题的焦点其实是一部分人认为这两者没有区分的必要，而另一部分人则以为适当区分是有价值的。}

有一些问题是原有的“理论体系”就没有很好理清楚的，诸如史先生现在费力就“误差范围”完善的方方面面，以及对相应“认识主体”的依赖性问题{ 无论叫“（测量）误差范围”，还是称“（测量）不确定度”，都不会是一个纯客观的“指标”！}

当然，更多的则可能是具体应用者的理解“发挥”问题。

“不确定度”（表述）体系应该并不是铁板一块，它也在不断的“改版”。相信它会越来越好！