本帖最后由 史锦顺 于 2016-6-28 16:21 编辑
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关于方差的辨别
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史锦顺
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（一）统计理论的基本术语
“方差”一词是统计理论的专业术语。
设量值为X，测得值为Xi，X的平均值为：
X平= (1/N)∑Xi （1）
量值X的数学期望为
EX=lim(N→∞) (1/N)∑Xi （2）
量值X的方差为
DX= lim(N→∞)(1/N)∑(Xi-EX)2 （3）
量值的标准方差为
σ2=(1/N)∑(Xi-EX)2 （4）
量值的标准偏差为
σ =√[(1/N)∑(Xi-EX)2] （5）
贝塞尔公式为：
σ =√{[1/(N-1)]∑(Xi-X平)2} （6）
贝塞尔公式的妙处是用X平代换数学期望值，代价是1/N换成1/(N-1)，可实际计算。公式（5）与公式（6）等效。GUM把（6）式用s表示，并无必要。
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（二）误差理论与统计理论的不同
测量分两类。
第一类是基础测量。基础测量的条件是：被测量的变化远小于测量仪器的误差范围。测量结果是“测得值±误差范围”。测量水平的表征量是误差范围，是仪器的问题，是手段的问题。基础测量理论的研究对象是误差，误差是“识差”，是认识之差。测得值的平均值的标准误差，等于标准偏差σ除以根号N.
另一类测量是统计测量。被测量是统计变量。统计测量的条件是：测量仪器的误差范围远小于被测量的变化范围。测量结果是“测得值±偏差范围”。仪器误差范围可略，测得值各个是真值。偏差是被测量变化构成的，被测量的变化是客观存在。量值的偏差，要用单值的σ来表征，不能除以根号N. 即使取平均值，也是如此。
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统计理论，不考虑误差问题。认为测得值就是量值。
测量计量中的统计测量，就是统计问题。统计理论的术语可用。
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测量计量中的基础测量，要处理误差问题，统计理论中术语，哪些能用，哪些不能用，要仔细鉴别。
测量误差分随机误差与系统误差两类，对随机误差，统计理论基本可用，而对系统误差又基本不可用。
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（三）统计理论的“量值的方差”，泯灭了“系统误差”
基础测量理论，考究测量的误差问题。计量又是专门测定误差。
误差有系统误差与随机误差之分。统计理论的方差，不包括系统误差。就是说，贝塞尔公式对系统误差的灵敏度为零。
系列测得值共N个，每个都加常数C,则σ不变。说明方差的定义与公式，都与系统误差的存在及大小无关。
系统误差是恒值或慢变化的误差。在短期间内，至少在统计时段内是恒值。在统计中，量值仅有恒值误差，测得值是常值。统计理论讲得明白，常值的方差是零。就是说，在统计中方差的计算，泯灭了系统误差。测量计量是以系统误差为主的。不确定度理论用方差处理测量计量问题，掩盖了系统误差的作用，是方向性的错误。
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（四）不确定度A类评定的问题
不确定度A类评定，规定用贝塞尔公式计算σ；σ除以根号N变成σ平，σ平是A类不确定度。
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1 对统计测量，被测量是统计变量。统计测量的量值分散性与随机变化的范围都要取单值的σ，而不能除以根号N。平均值的σ平，随测量次数增大而缩小，其期望值是零，不能当表征量。由是，不确定度A类评定的一律除以根号N，对统计测量是错误的。
2 对基础测量，因为有随机误差与系统误差两部分，要分头说。基础测量，被测量是常量，分散性由测量仪器引起，测量仪器是手段，手段的不良可以改进。单就随机误差部分来说，除以根号N是正确的；但A类评定是取方差，取方差则泯灭了系统误差，如果评定仅仅用A类评定，就是顾了分散性而忘掉偏离性，捡了芝麻而丢了西瓜。
3 有人说评了A类又评了B类，就全了。其实是过头了。因为B类评定的基本依据是产品说明书中性能指标的规定。那个指标中，虽然主要是系统误差，但也必定包括了随机误差范围，A类评定搞重复了，是多余的。
4 有人说，那就不评定A类，只评B类。老史说：先生，你根据仪器的说明书，就是相信说明书的规定。引用说明书就可以了，还评定什么？不是多此一举吗？
有人说：老史全盘否定不确定度评定。说对了，先生。错误的东西，不否定它，留着害人呀！
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（五）关于系统误差的处理
1 系统误差是恒值，被测量加系统误差仍是恒值。恒值的方差是零。当量值是常值时，量值的方差是零；系统误差是恒值，系统误差的方差必定是零。说系统误差也有方差，意思是说系统误差也有不为零的方差，这种说法是错误的。
2 系统误差可以参加统计计算，但不是用方差，而是用“方根值”。
3 设系统误差元用β表示，可正可负，其绝对值是|β|。
误差范围是误差元绝对值的一定概率意义（99%上）的最大可能值，因此，系统误差的范围是|β|。
4 系统误差可以用“方根值FG”来表达，记为FG (β)。系统误差的方根值就是系统误差的误差范围|β|。
5 随机误差元记为ξ。随机误差的误差范围是3σ (ξ)= σ (3ξ)。取随机误差的“方根值”为FG(3ξ)，这样，随机误差的方根值与系统误差的方根值，对总误差范围的权重相等，方便于合成处理。着眼于范围，进行方根法处理。基于交叉系数简化为1或简化为零，以及系统误差的个数，决定误差合成法取“绝对和”还是取“方和根”，处理简洁方便。
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（六）与本栏目有关的几个问题
1）基础测量与统计测量各有特点，区分是必要的，有益于分别处理问题。
2）基础测量讲究测量误差。误差有系统误差与随机误差，各有特点，各有规律，这是客观存在，不能忽视，更不能否定。
3）说系统误差也有方差，是错误的。系统误差是恒值，恒值的方差必为零。
4）系统误差是δ分布，当成“均匀分布”“梯形分布”“三角分布”都是错误的。
5）系统误差与随机误差的合成，着眼于“方差”，难上难，走不通。而着眼于“范围”，表3σ (ξ)= σ (3ξ)，用方根法，合成则很容易。
6）求各项和的方根时，各项和的平方的展开式中的交叉系数，是决定合成法的根据。此前的“相关系数判别法”，一则没有判别公式（皮尔逊公式对系统误差灵敏度为零），二则相关系数本身有歧义，通常是误导（如《JJF1059.1》关于不相关的三条全错）。
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