再论误差范围
本帖最后由 史锦顺 于 2014-3-16 09:47 编辑再论误差范围- 史锦顺- 在测量计量领域，误差是极其重要的概念。 误差是测得值与被测量真值的差距。这不很简单吗？是的，理解对，很简单；稍有误解，就出问题。 也许有人说：没那么严重吧？老史夸大其词。 好，咱们来看看近二十年的国际计量界。- 1993年，国际计量委员会通过以GUM为标志的“不确定度论”。由于七大国际学术组织（后来是八个）的联合推荐，整个国际计量界，风云突变。 一场不确定度风潮，搅得周天寒彻。八大国际学术组织联合推荐，国家计量主管部门强力推行。宣贯、宣讲，学习班如雨后春笋；考试、考核、督导、检查，轰轰烈烈；这二十年，说话，要说不确定度论专用的语言；干事，要按不确定度论特定的方法。几乎是一场大规模的运动，一场测量计量界的“概念大革命”。许多人有意见，没人理；但凡说个“不”字，就可能被扣个“不合格”，够你受的。但是，人们的意见越来越多，怨气越来越大。为什么？人们逐渐认识到：不确定度论不是好东西！ 人们不禁要问：这场风是怎么刮起来的呢？ 原来，如此巨大风暴，竟起源于一个小小的误解。那就是把误差仅仅理解为“测得值减真值”。这就和网上最近的讨论联系起来了。前边的引语，话题大了些；但也说明，本次讨论有比问题本身更重要的意义。我们说清平均值误差比单值误差小的道理，也就刺穿了不确定度论那个大大的肥皂泡。 一些人认为：单次测量有一半的机会是随机误差抵消系统误差，因此单次测量与多次测量的误差那个大，不一定。这种不定说，本是错误的意见，却似乎有理而占了上风。为什么会出现这样的议论呢？笔者认为，这是近二十年来推行不确定度论的坏影响。推行不确定度论以来，“不确定”的思想泛滥，本来多次测量误差小、精密测量要进行多次测量，这是测量计量业的行规，是极确定的观念，是基本常识，现在也“不确定”了。 从学术理论来说，国际规范GUM与VIM，都把误差定义为测得值减真值，是个可正可负的量，这样就抹煞了“误差范围”的地位与作用。而测量计量的本质与核心，正是“恒正”的“误差范围”，而不是“可正可负”的误差。要纠正国际规范的误导，老史的办法有两条：第一区分误差概念为误差元与误差范围两个概念；第二，反复强调误差范围概念的重要性。- 要讲清道理，我得耐心地讲；谁想弄明白，也得耐心地看。其中核心是误差范围的概念与地位。 一句话表明本文的主题：测量计量的根基是准确，准确度就是误差范围。-（一）误差概念家族 误差一词，是翻译来的，就汉语来说，不很确切。其实是“测差”或“识差”。误差是表明测量得到的值（测得值）与被测量的客观实际值的差距。“误差”就是量值上的差别，是必然有的，既不是“错误”，也不是“差错”。怎么叫，也并非多么重要；一个科学概念，关键是下严格的定义，用定义来明确其内涵和外延。 误差是误差理论的基本术语。其前其后加附加成分，就形成关于误差的术语大家族。 1 误差； 2 误差范围； 3 系统误差； 4 随机误差； 5 分辨力误差；6 复现性误差； 7 基本误差； 8 附加误差； 9 最大允许误差； 10 极限误差； 11 引用误差； 12 绝对误差；13 相对误差； 14 误差绝对值； 15 误差修正值； 16 标准误差； 17 最可几误差； 18 误差分析； 19 误差合成； 20 误差理论……-（二）误差元与误差范围 误差，是个泛指的概念。一般地表示测得值与真值的差距。误差包含误差元与误差范围两个概念。科学，要求概念明确。术语必须严格定义。尊重已有历史习惯，本文给出如下定义。- 定义一 误差元 误差元等于测得值减真值。可正可负。 定义二 误差范围 误差范围是误差元的绝对值的一定概率（3σ，99.73%）意义下的最大可能值。恒正。- 有人说，老史无故标新立异，玩弄新名词。这话不当。误差一词的两个含义，是误差理论与人们的日常用语习惯中早就有的。老史只是说清楚而已。 例如，单项的误差分析，“误差”指误差元。 说测量仪器误差，“误差”指误差范围。《最新电子测量仪器》一书列数十个“测量误差”指标值，这里的“误差”都是指误差范围。 说误差理论，其中的“误差”是个泛指概念，既包括误差元，也包括误差范围，也包括种种误差概念。因为，讲误差理论，不能只讲那个“测得值减真值”的误差元。 只加一个“元”字，可以澄清许多混淆，为什么不可以？本网那位发言积极的规矩湾锦苑版主，对我这个“元”字很反感，多次表态“反对”，甚至诬陷是老史在制造混乱。我在仔细考虑之后确认：元字必须加。不理解是你的事。正确的东西我必须坚持。- 一个“元”字可以破解那个震撼国际计量界的“测量佯谬”。 GUM说：“误差等于测得值减真值，被测量真值不知，误差不可求”。而可以评估不确定度。描红的那二十二个字，是对误差理论的严厉的指错、是根本的否定。这是多么厉害的一刀啊，是挖心术，你误差理论的核心是误差，误差不能求，你误差理论就没有用处，就该废除。不确定度能评，大家都来学不确定度、用不确定度。请看官注意，本文开头的那段描述推行不确定度的热闹场面，不就是在这种喧嚣声中形成的吗？ 人们不禁要问：误差真的不可求吗？若如此，那人们这近代的测量计量又都是咋干的呢？一切科学技术、所有工业，全部贸易，都得用测量仪器或量具，都与误差理论有关，难道人们全错了吗？ 在人们冷静思考之后，必须果断地说：不确定度对误差理论的攻击，毫无道理。不确定度论的指错，根本就不是误差理论的问题，而是个“测量佯谬”，“佯谬”就是“假错”。 原来，这里就缺少个“元”字。被测量真值未知，确实不能计算误差元。但这有什么不妥呢？原来人们测量之前是必定根据准确度要求而选用测量仪器的。称煤炭，用台秤；称肉，用电子案秤；而称金戒子要用天平。人们是知道测量仪器的误差范围的。而误差范围正是误差元的最大可能值。 大台秤的误差范围约0.1kg，称煤可以，称1kg肉就不行，误差大。电子案秤误差范围大致3 g，称菜称肉，都是可以的。如果用电子案秤称金戒指，误差就太大了，买卖双方都不会同意，而要用误差范围10mg以下的天平。 以上的例子很通俗，但和任何精密测量的道理是一样的。就是说：测量中用的是“误差范围”。人类社会是个有组织的整体，任何可以应用的测量仪器，都在生产时确定了“误差范围指标”，在计量中确认、公证了“误差范围指标”。计量就是公证测量仪器的实际误差范围不大于误差范围指标值。计量法规定：不经计量合格的测量仪器不得使用（示教仪器除外），因此，人们测量时，在得知测得值的同时，是知道测得值的误差范围的。测量者用测量仪器的误差范围指标值作为测得值的误差范围，是冗余代换，是方便的，也是合理的。 无论是普通测量还是极精密的测量，道理是一样的，测量者知道误差范围就足够了，没必要去计算那个误差元。就是说，误差元的概念很重要，但由它构成的误差范围，才是实用的。因此，“真值未知，误差元不能计算”是确实的，但这种计算本身，对测量者是不必要的。能够知道“误差范围”就足够了，因为可能的误差元（99.73%的概率）不大于“误差范围”。 由上可知，不确定度论对误差理论的攻击，是无效攻击。因为知道误差范围就足够了，测量者既没可能、也没必要去进行“测得值减真值”的操作。 在测量仪器的研制的场合，在计量的场合，有时要计算误差元，但研制测量仪器、计量测量仪器，都必须有计量标准，也就是有相对真值，求误差元是可以的。当然，求得的误差元自身也有误差范围，但可以选用够格的计量标准，使考察误差时的误差，可以忽略。 二十年的实践，我们知道了不确定度论的老底，原来它也得靠误差范围。不知误差范围，就一个不确定度也评不出来（单靠A类评定，只知平均值的σ，不行；B类评定的核心内容是利用已知的误差范围指标）。反对误差理论，又不得不用误差理论的成果，这就是不确定度论的假大空。区分误差元与误差范围，竟可以破解测量样谬，这个“元”字不该加吗？ 我们必须明确：误差元是构成误差范围的元素；由误差元构成的误差范围，才是测量计量讲究的主体概念。-（三）测量仪器研制与误差范围指标 测量仪器是测量的工具，是测量手段的核心。研究制造测量仪器，是测量计量行业的基础。测量仪器的主要指标有量程、分辨力、准确度等。而标致测量仪器水平的是准确度。准确度就是误差范围。准确度是褒称，误差范围是实质。误差范围又称最大允许误差、极限误差、误差限、引用误差、总误差、准确度、准确度等级等。历史上还有绝对值平均误差、最可几误差、均方根误差等，三者与误差范围性质相近（恒正），而数值要乘个系数。- 研制测量仪器，必须实现误差范围指标。 首先要找到能实现测量准确度的物理机制。列出物理公式。写出计值公式。联立物理公式与计值公式，得到测量方程。给出测得值函数。 在测量仪器中，被测量的量值Y是诸Xi的函数，诸Xi是构成Y的来源量。 在测量方程中，各量成对。被测量的测得值Ym与被测量Y是一对。被测量Y是客观存在，是常量，而被测量的测得值Ym是变量。决定Y的各来源量Xi，各有一个Xm或Xo与其对应。如Xi与Xim对应，则Xi是常量，Xim是变量；若Xj与Xjo对应，则Xj是变量，而Xjo是常量。 设物理公式为： Y = f(X1,X2,……XN) （1） 计值公式为： Ym= f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) （2）式中斜杠“/”表示“或”。m表示测得值，o表示标称值。m/o表示或者是测得值m，或者是标称值o。例如X1m/o表示是X1m或者是X1o. 联立（1）（2）二式，二者相除，得： Ym/Y = f(X1m/O,X2m/O,……,XNm/O)/ f(X1,X2,……XN) （3） 联立（1）（2）二式，二者相减，得： Ym―Y = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)―f(X1,X2,……XN) （4）(3)、(4)都是测量方程，依应用方便而选用。- 测得值函数为 Ym = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) – f(X1,X2,……XN) + Y （5） 误差元函数为 Ym – Y = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) – f(X1,X2,……XN) 合成误差元的绝对值的最大值为 │Ym – Y│max= │f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o)-f(X1,X2,……XN)│max （6） 这个“合成误差元绝对值的最大可能值”就是误差范围，记（6）式右端为R, 有 │Ym – Y│max= R （7） 解绝对值方程（7） 当Ym＞Y时，有 Ym = Y + R （8） 当Ym＜Y时，有 Ym = Y– R （9） 综合（8）式、（9）式，有 Ym = Y ± R （10） （10）式由（5）式推得，（10）与（5）等效。因此，测得值公式（10）是测得值函数式的简化表达。- 将（10）式表为相对值形式，记R/Y = δ Ym = δ ]Y （11） Ym/Y通常表为M/Z，M是测得值，Z是被测量的真值。测得值函数的理想情况是M/Z等于1。δ]表明测得值与真值之间的函数关系，而其参量就是误差范围。因此误差范围就代表了测得值函数，就表明了测量仪器的性能。 （10）式、（11）式都是测得值函数的简化表达式。这种表达式具有非常简明的形式，参数就是误差范围。原来，误差范围竟是测得值函数的体现。- 上述分析表明，误差范围表征测量仪器的测得值函数，表达了测得值对真值的函数关系。误差范围指标由制造厂给出，是测量仪器性能的总的表达。在以后的计量与测量中，检查的是误差范围指标，测量中应用的也是误差范围指标。-（转下页） 本帖最后由 史锦顺 于 2014-3-16 10:35 编辑
接 1# 史锦顺 文
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（四）计量与误差范围 计量是检验测量仪器的合格性，就是实测测量仪器的性能，看它是否符合误差范围指标。 4.1 计量中的测得值区间 计量的基本概念是真值、误差元、误差范围。测得值区间。 误差范围是测得值区间的半宽。关于计量中的测得值区间，推导如下。 设被测量（计量标准）的真值为Z，测得值为M，误差元为r,误差元绝对值的最大值为R。计量时，真值唯一，而测得值是个变量。 R=│r│max=│M–Z│max （12）解绝对值方程（12）当M＞Z，有 R=(M–Z)max=M(大)–Z M(大)=Z+R （13）当M＜Z，有 R=(Z–M)max=Z–M(小) M(小)=Z–R （14）由（13）（14）式，得到测得值M的范围是 –R,Z+R] （15）计量中的测量结果为 M = Z±R （16）（16）式表达的是这样一种事实：依靠一个计量标准去计量一大批同一型号的测量仪器；各台仪器的测得值不同，而真值（标准的值）只有一个。 由上，计量中有标准，以其值当真值，则测量仪器的测得值区间，是以真值为中心、以测量仪器误差范围为半宽的测得值区间。- 4.2 计量的定量计算 测量是用测量仪器测量被测量，以确定被测量的量值；计量时的具体操作是用测量仪器测量计量标准，因已知标准的量值，由此来考察测量仪器的测得值对真值的偏差。 设标准的真值为Z，标称值为B，仪器示值为Mi，测量N次。1 求平均值M(平)2 按贝塞尔公式求单值的σ3 求平均值的σ(平) σ(平) = σ/√N4 求测量点的系统误差 R(系)= │M(平)－B│ （17）5 平均值的随机误差是3σ(平)6 被检测量仪器示值的随机偏差是3σ7 被检测量仪器的误差范围由系统误差R(系)、确定系统误差时的测量误差3σ(平)与示值的随机误差3σ合成。因有第3项，第二项可略。因系以标准的标称值为参考得出，称其为误差范围实验值，记为 R(实验)= R(系) + 3σ （18）8 被检测量仪器的误差范围（以真值为参考的真误差范围） R = R(实验) + R(B) = R(系) + 3σ+R(B) （19）R(B)是所用标准的误差范围。- 4.3合格性判别与操作的注意事项由于测量仪器的可能测量点很多，任何测量点不合格就是仪器不合格，计量必须找误差范围的最大可能值。合格性的判别式为 R(实验) max ≤ R(标称) – R(B) （20） 注意，误差范围是误差元绝对值的最大可能值，因此计量时要找误差元的最大可能值。测量仪器的误差范围指标是就量程的各个点而言的，因此要找各点的误差范围值的最大值。 在检定工作中，为简化计算，可采用如下计算与判别方式：设Δ是仪器测得值与标准标称值之差，若 │Δ│max ≤ R(标称) – R(B) （21）则被检测量仪器合格。若标准的误差可略，（18）式简化为 │Δ│max ≤ R(标称) （22） 为充分显现误差元的最大可能值，要根据测量仪器的特点，合理的设置标准的标称值。标准的标称值要有足够的细度、足够的量值范围，合理的分布。检定中，要有足够的采样点，有足够的测量次数。要重点针对测量仪器的薄弱点。总的原则是要找到测量仪器误差的最大可能值。-在上述关于计量的讨论中，核心概念是误差范围。因为计量场合有计量标准，误差元是可以求的，但求误差元是过渡，最后都要落实到误差范围上。-（五）测量与误差范围 测量得到测得值，又知道所用测量仪器的误差范围指标。测量者就用测量仪器的误差范围指标当做测得值的误差范围，这是合理的，也是方便的测量时，得到确定的测得值，是唯一值（单一的读数值或N个读数值的平均值）。而被测量的真值，有多种可能，从可能值Z(小)到可能值Z(大)。解绝对值方程（12）当Z＞M，有 R=(Z–M)max=Z(大)–M Z(大)=M+R （23）当Z＜M，有 R=(M–Z)max=M–Z(小) Z(小)=M–R （24）由（23）（24）式，得到真值的范围是 –R,M+R] （25）测量中的测量结果是 Z = M ± R （26） （26）式通常记为
L= M ± R （27）（26）式很重要。这就是测量给出的测量结果。测量结果是真值范围。真值就是实际值。测量结果就是被测量的实际值范围。测量结果等于测得值加减误差范围。测量结果在一定概率（99.73%）意义下包含真值。-（六）谈测量误差，着眼点应该是误差范围，不能讲究误差元。 回到网上讨论的问题，比较单次测量值和平均值的误差，关键就是要讲究误差范围，而不能看误差元。人们用的是误差范围，比较也必须比较误差范围。平均值的标准随机误差，是σ(平)，σ(平)等于单值的σ的根号N分之一。 设测量仪器的系统误差范围为R(系)，多次测量，用贝塞尔公式算σ。单次测量，随机误差范围为3σ；而N次测量，平均值的随机误差范围为3σ(平)。 甲测量一次，测量的误差范围是 R(单)= R(系)+ 3σ 乙测量N次，用平均值当测得值，测得值的误差范围是R(N)=R(系) + 3σ(平)甲乙的系统误差相同。而乙的随机误差范围是甲的根号N分之一。 因此，精密测量要进行多次测量，取平均值，误差范围小。也就是准确度高。- 还有一个问题是“误差元”这个量的特殊性。一般的量，要求量值确定得准确。上偏差与下偏差的不利影响，大致对称。误差元这个量与一般量不同，有个上限要求，可以小，而不能大。当误差元小于误差范围范围要求时，误差小虽然好，但好处不明显。而一旦误差大到一定程度，误差增大的害处，十分严重。因此，对称分布的随机误差与系统误差合成，单值误差元使总误差减小的那一侧，作用微弱，几乎不起实际作用；而单值误差元使总误差增大的另一侧，则可能影响严重，甚至可能有灾难性的后果，因此，不能等同地看待单次测量误差元在两侧的作用。 结论：精密测量要进行多次测量。平均值的误差范围比单次测量的误差范围小。
- 不错 ，学习了 你们都是计量行业的专家啊，学习中，领悟中！ 回复 2# 史锦顺
请教史老师一个问题：误差限（小量）相加时，直接加；相减时如何办理？是直接相减吗，如果出现被减量小于减量咋办。抑或相减时只取减量和被减量中的最大值。 本帖最后由 史锦顺 于 2014-3-28 09:52 编辑
回复 5# Enalex
二量和的误差范围，是二量的误差范围之和。二量差的误差范围也是二量的误差范围之和，不是二量范围之差，也不是取最大者。请注意，误差范围是误差元的最大可能值，不论在任何情况下，相减都要慎重。只在误差范围分配时，可以总误差范围减单项误差范围。一般情况下，都不能相减。
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不久前，我写过一篇文章题目是《 [ ，真值是B(真) 误差元： r(B)= B(测)―B(真) （B.1） 误差范围是 R(B)= │r(B)│max=│B(测)―B(真)│max （B.2） 类似，合成量C的误差范围记为R(C).合成量D的误差范围记为R(D)。- 定理一： 二量和的误差范围等于二量误差范围之和 C=A+B （C.1） R(C)= R(A)+R(B) （C.2） 证明： 由基本公式（C.1），误差元为： r(C)= r(A)+r(B) （C.3） 误差范围为
R(C)=│r(C)│max = │r(A)+r(B)│max =│r(A)│max+│r(B)│max = R(A)+R(B) （C.4）
定理一得证。- 定理二： 二量差的误差范围等于二量误差范围之和（是和，不是差） D = A―B （D.1） R(D) = R(A)+R(B) （D.2） 证明： 由基本公式（D.1），误差元为： r(D)= r(A) ―r(B) （D.3） 误差范围为
R(D)=│r(D)│max = │r(A) ―r(B)│max 误差元是可正可负的量 R(D)=[±│r(A)│―[±│r(B)│]max = R(A)+ R(B) （D.4）
定理2得证。 以上是正确公式。- 回复 6# 史锦顺
谢谢史老师！这些文章有汇总文件没有，或发给我的邮箱mountain599@126.com，打算给我的同事也学习学习 学习了，有很多计量知识需要学习呀！！！
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