误差范围区间与扩展不确定度区间基于计算的比较（续1）

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                                    误差范围区间与扩展不确定度区间
                                              基于计算的比较（续1）
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                                                                                                        史锦顺
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       本文论题：测量场合下，间接测量的测量结果区间的比较。前文《误差范围区间与扩展不确定度区间基于计算的比较图》是本文的一个特例。
       本文计算题目：一把精致银米尺，长、宽、厚，形状规整。测量该尺的物质密度。
      
米尺的基本数据（参数分项测量，各10次）
       测量质量M，用普通天平（MPEV 0.03%）。测得值：M_m = 8.900kg
       长度L的规格：长度的标称值L_o= 1m，MPEV 0.03%
       测量宽度D，用数显卡尺（MPEV 0.05%），测得值：D_m =50.00mm。
       测量厚度H，用数显千分尺（MPEV 0.03%）。测得值：H_m =20.000mm。

1《史法测量计量学》对误差范围的表达
1.1 测量方程与测得值函数
       物质密度ρ的物理公式
                 ρ = 质量/体积=质量/ (长×宽×厚)
                    = M/(LDH)                                                                （1）
       物质密度ρ的计值公式（脚标o表示标称值；脚标m表示测得值）      
                 ρ_m = M_m /(L_oD_mH_m)                                                    （2）
       测量方程为
                 ρ_m / ρ = (M_m/M) / [(L_o/L)( D_m/D)(H_m/H)]                          （3）
       测得值函数：
                 ρ_m = ρ(M_m/M) (L/L_o)(D/D_m)(H/H_m)                                    （4）
      
       注意，测得值函数中，自变量是质量测得值M_m、长度L、宽度测得值D_m、厚度测得值H_m。
       宽度实际值D、厚度实际值H、质量实际值M是物理公式中的值，是真值，是常量。长度标称值L_o是常量(标称值是定义值的一种形式[1]），而长度实际值L是真值，却是变量。以往，经典误差理论中的误差分析，直接从物理公式出发进行微分，常常弄错有标称值的量的误差元的符号。如频率计误差分析中的时标误差。由于误差量的特点是其“绝对性”与“上限性”，经典误差理论的结果分析，没错。如马凤鸣书中直接取绝对值，不出错。但如果要修正，或者要分析误差因素的影响，符号问题就必须讲究。误差理论要精准，要严格化，不能在符号上含糊。《史法》的测量方程与测得值函数，澄清了这一点。关键是辨清常量与变量。微分必须对变量微分。《史法》的区分常量与变量的程序，使误差理论的微分操作，有了严格的数理逻辑基础。

1.2 求误差元
A 差分法
       误差元是测得值与真值之差。测得值（2）与真值（1）之差就是误差元。这样做，物理意义十分清晰。笔者年轻时读文献，不理解“为什么求微分就是求误差”，只是模仿。临近退休，才弄明白误差方程这套道理。取差分，符合误差（元）的定义。微分不过是求差的数学方法。而取微分，必须明确变量。
       差分法求密度误差的公式为
              Δρ_m =ρ_m - ρ
                = M_m /(L_oD_mH_m) - M/(LDH)                                           （5）   
       对（5）式做近似计算，即可求误差元。（参见《史法测量计量学》[^1]第3章。）
B 微分法
       熟悉微积分，用微分法就更方便。
       对测得值函数ρ_m（4）
             ρ_m = ρ(M_m/M) (L/L_o)(D/D_m)(H/H_m)   
做全微分，得密度函数的误差元      
            dρ_m =ρ (∂ρ_m/∂M_m)dM_m+ (∂ρ_m/∂L)dL+ (∂ρ_m/∂D_m)dD_m+ (∂ρ_m/∂H_m)dH_m
            dρ_m = ρ(M_m / M) (L / L_o)( D / D_m)(H / H_m)[ dM_m/M_m]  
                 + ρ(M_m / M) (L / L_o)( D / D_m)(H / H_m) [ dL/L]
                 - ρ(M_m / M) (L / L_o)( D / D_m)(H / H_m) [ dD_m/D_m]
                 - ρ(M_m / M) (L / L_o)( D / D_m)(H / H_m) [ dH_m/H_m]
            dρ_m / ρ_m = dM_m/M_m+ dL/L- dD_m/D_m – dH_m/H_m
       标成相对误差元的形式，有
             rρ_m =r_Mm + r_L - r_Dm - r_Hm                                               （6）   

1.2 误差合成公式
       由于四项误差（本例已知分项误差范围的指标值）,只有一项偏大，其他大小相近，没有“二、三项大误差”项，《史法》[1] 误差合成，取各项误差范围的“方和根”，密度测量的误差范围（合成误差元绝对值99%概率意义上的最大可能值）是：
                 Rρ= √(R_M² + R_L² + R_D² + R_H²)                                       （7）
1.3 本例具体计算
     尺体质量密度的测得值
             ρ_m = M/ L_oD_mH_m
                 =8.900kg/1000.0mm×50.00mm×20.000mm
                 = 8.900×10³ kg/m³
      密度测得值的相对误差范围（7）
             Rρ = √[(0.03%)² + (0.03%)² + (0.05%)² + (0.03%) ²]                 
                =0.072%
      密度测得值的绝对误差范围
             Δ ρ_m =8.9×10³×0.00072 kg/m³               
                 =6.4 kg/m³                                                                 （8）
       米尺质量密度的测量结果：
              ρ=(8900±6) kg/m³                                                          （9）

（未完，待续）
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——

（续前）


2 不确定度体系的计算
2.1 基本数据及分布认定
       测量质量M：普通天平（MPEV 0.03%，均匀分布）。测得值：M = 8.900kg，u_AM= 0.007%
       长度L的规格：长度的标称值L_o = 1m，MPEV 0.03%，正态分布。
       测量宽度D：数显卡尺（MPEV 0.05%，均匀分布）。测得值：D_m =50.00mm，u_AD= 0.01%
       测量厚度H：数显千分尺（MPEV 0.03%，均匀分布）。测得值：H_m =20.000mm，u_AH= 0.007%

2.2 扩展系数的确定
       用单台仪器的直接测量，直接用仪器的误差范围的指标值MPEV，就够了。没有误差合成问题，也就没有必要先除以根号3，再乘以k=1.7。那是将MPEV复原。似乎道理讲得通，但这是没有实际意义的折腾。（误差理论认为：基础测量是常量测量，仪器的随机误差包含在仪器指标MPEV中，不另算；不确定度体系认为测量对象可能是常量，也可能是随机变量，不确定度评定要包括测量值的随机变化部分。）
       不确定度体系是“方差合成”，一个关键问题是，多项误差因素合成为u_C，此后扩展因子怎样取？（《史法》是“范围合成”不存在这个问题。）
       不确定度体系的规范，多处说明，通常要求95%的概率，可取k=2；要求99%的概率，可取k=3。但这样做的前提是合成后误差是正态分布。又说各项误差是独立的，相互之间不发生作用。取99%概率时，何以将均匀分布的那一项除以根号3，却乘以3，竟毫无道理的扩大该项误差的作用到1.73倍？这是把正态分布的随机误差的规律，错误地用于统计中保持恒值的系统误差的恶果。毫无道理，是错误的。错误的分布认定，错误的扩展因子，只因为是把“恒值的系统误差”当成“随机误差”来处理。错误的根源是把测量的“时域统计”错误地当成是“台域统计”[2]。
       有人说：乘2乘3是不符合规矩的错误操作。其实不然。且看如下规范：
      《校准领域测量不确定度评估指南》（CNAS-GL09:2008）p8：
       5.2 用实验的方式通常很难确认输出量的估计值是否属于正态分布。但是，在通常情况下，当几个不确定度的分量来源于概率分布独立的输入量（即参量个数N≥3），如服从于正态分布或矩形分布时，则依据中心极限定理可以假设输出量的分布接近于正态分布。
      （史注：该规范中的实例S2、S3、S4、S5、S6、S7都按“输出量为正态分布”处理.）
       本题有误差范围四项，随机误差三项。常规的分布认定：正态分布四项，矩形分布（均匀分布）三项，求U₉₉，取k=3，符合不确定度体系作法。至于认为各项独立，也只能如此。（不确定度体系的“分布论”、“相关系数论”本来就是多余的，并无科学根据。）
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2.3 不确定度体系的计算
       尺体密度测得值
              ρ_m = M_m / L_oD_mH_m
                 =8.900kg/1000.0mm×50.00mm×20.000mm
                 = 8.900×10³kg/m³
       合成标准不确定度
              u_C = √ {[(0.03%)/√3]² + [(0.03%)/3]² + [(0.05%)/√3]²+ [(0.03%)/√3]2                 
                    +(0.007%)²+(0.01%)²+(0.007%)²}
                 = √ [(0.0173%)²+ (0.01%)² + (0.0289%)² + (0.0173%) ²                
                    +(0.007%)²+(0.01%)²+(0.007%)²}
                 =0.042%                                                            （10）
       包含概率99%的扩展不确定度（相对值）
              U_99r = 3u_C
                  = 0.13%                                                           （11）
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2.4 不确定度体系的测量结果表达
       测得值
               y = 8.900×10³ kg/m³
       包含概率99%的区间半宽：               
               U₉₉ = 8.900×10³ kg/m³×0.13%
                  =12 kg/m³                                                           （12）
        测量结果：
                Y = (8900±12) kg/m³                                                （13）

3 史评
       拙文《论不确定度体系的公式错误》[2]中的区间比较图以及前文《误差范围区间与扩展不确定度区间基于计算的比较图》，画的是单台仪器。有人认为扩展不确定度的扩展系数的选取是不对的，因此，比较是不成立的。这样说似乎有道理，但本质上是掩护了不确定度体系的错误。
       误差合成，总是若干量的合成。因此《论不确定度体系的公式错误》[2]的举例，以及前文，应看成是多个分量中的一个。乘3是常规。
       以（10）式为例，对整体乘3，本质是对各分项都乘3了。
             u_C = √ {[(0.03%)/3]² +[(0.03%)/√3]² + [(0.05%)/√3]² + [(0.03%)/√3] ²                 
                   +(0.01%)²+(0.02%)²+(0.01%)²}
3 u_C = √ { [3× (0.03%)/3]² +[3× (0.03%)/√3]² + [3× (0.05%)/√3]²
      + [3×(0.03%)/√3] ² +[3× (0.01%)]²+[3× (0.02%)²+[3× (0.01%)]²]
                 =0.042%                                                       （14）
       其中的第2项（尺长）、第5项、第6项、第7项，因为单项是正态分布，合成说得过去；但第2项、第3项、第4项都无故扩大1.73倍，是没有道理的，是错误的。因是“方和根”，大项误差（第3项）较大，自身虽然只扩大到1.73倍，因为平方和凸显大误差的作用，且多计了在MPEV中本已包含的随机误差项，竟使函数区间半宽扩大到2倍！这算什么玩意儿？不确定度体系，伪科学！
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       本人前几次的图解说明，本质是数项误差合成（N≥3）中单项作用的变化，是通常情况。这是不确定度体系的本质性错误之一。本人说明也不够，易于引起误解，故另写两篇续文在此。在否定不确定度体系这一点上，本人并无错误，而表达要尽可能更严格，是必要的。故对csln先生表示感谢。
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       不确定度体系的庞大架构：A类不确定度、B类不确定度、合成不确定度、扩展不确定度，这一套的核心是“误差合成”。直接测量用MPEV就够了；间接测量必须有误差合成。就随机误差来说，不确定度体系与经典误差理论并无区别，也与统计理论一致。但系统误差不行。测量计量的统计，是“时域统计”，而不是“台域统计”。在单台仪器的重复测量中，系统误差是恒值。在间接测量中，每台仪器各自测量不同的量，各量间，有物理公式所确定的函数关系，但系统误差却是各自独立的。每种仪器的系统误差对被测函数量的作用，是独立的。在多次重复测量中，各项系统误差的量值、各系统误差间的关系，由量值的函数关系确定，是固定的；即函数的总系统误差是恒值。函数的系统误差既不是均匀分布，通常也不可能是标准正态分布（无偏倚值），而一般是有偏正态分布（其偏倚值是系统误差）。因此，对系统误差的合成量乘以不等于1的因子k是错误的。下文将详述。
       直接进行“范围合成”，简单又正确，何不为之？

       不确定体系的测量结果区间半宽U₉₉竟是误差理论测量结果区间R的两倍（本例计算），孰是孰非，不值得认真研究一番吗？
       不确定度体系错了，且错误严重！要它何用？
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资料及说明
[1]史锦顺著《史法测量计量学》，等待出版。质检出版社在等待国家计量院的鉴别结论。其内容本人已多次在本栏目征求意见。许多网友是知道的。
[2]史锦顺《论不确定度体系的公式错误》，本栏目中有征求意见稿。宣传新学说与抨击不确定度体系的文章，本人已在本栏目贴出有署名的文章513篇（已编为10集）。有意向研究的网友，告诉我你的邮箱号，我可将全部文稿和书稿都寄给你。我已八十一岁半，传播自己的学术思想，既是义务，也是一种快乐。
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太有深度了，我得慢慢消化。

关于所谓的"系统(测量)误差"，拎清后的"(测量)误差理论"(如1990年代后费业泰等先生的著述)已分为"已(确)定"与"未(确)定"两部分----对于"已(确)定系统误差"，"间接测量"的"合成"就是"具体值代入函数运算"，不涉及什么"范围合成"，当然也无关"概率分布形式"、"相关性"之类问题;  但对于"未(确)定系统误差" ，人们只能"估计"它的"可能取值范围"及相应的"概率分布形式"，"间接测量"时便涉及"可能取值范围"的"合成"及"结果"的"概率分布形式"等问题---这些问题在"数学"(概率与统计)上不存在未明的概念问题，"线性化"理论"合成"、"蒙特卡洛"仿真"合成"都是行之有效的方法，实际应用中，各"分量"自身的"概率分布形式"、"分量"之间的"相关性"是不可回避的难题，需要可靠的"经验"支持！

uC = √ {[(0.03%)/√3]2 + [(0.03%)/3]2 + [(0.05%)/√3]2+ [(0.03%)/√3]2                 
                    +(0.007%)2+(0.01%)2+(0.007%)2}
                 = √ [(0.0173%)2+ (0.01%)2 + (0.0289%)2 + (0.0173%) 2                 
                    +(0.007%)2+(0.01%)2+(0.007%)2}
                 =0.042%                                                            （10）
       包含概率99%的扩展不确定度（相对值）
              U99r = 3uC
                  = 0.13%                                                           （11）

0.0289/0.042=0.688

有一均匀分布的显著项占合成标准不确定度三分之二以上，合成不确定度仍然是均匀分布，U99包含因子是1.72或1.71

　　“误差区间范围”与“扩展不确定度”是性质完全不同的两个概念，无法摆在同一个平台上相比较。
　　“误差区间范围”是允许的误差变化范围的宽度，量化反映了测量过程或测量结果准确性要求，正式术语是最大允许误差绝对值，写成英文缩写就是MPEV。
　　“测量不确定度”量化反映了测量过程或测量结果的可信性，不是误差，也不是误差范围。扩展不确定度只能用英文单词的第一个字母U表示，当用小写字母u时，代表标准不确定度。因此，扩展不确定度不能缩写为MPEV。
　　另外，“不确定度”本身就是某个区间（人们估计得到的真值存在的可能区间）的“半宽度”，“区间半宽的区间”非常绕口，也令人费解，因此不存在“扩展不确定度区间”这个概念。

喜欢这种学术性帖子，收藏下来好好消化下

史锦顺 发表于 2018-11-18 10:36
（续前）

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梦回枣乡 发表于 2021-4-16 14:11

       2018年我的一句承诺，2021年了，我已不再兑现。我已84周岁。年老多病，请谅解。本栏目都有，自己查查吧。

       按新版著作权保护法，网上文章、书稿，都在保护之列。可以下载自用，不可复制公开发表，否则即为侵权。作为不同意见的学术讨论，可以部分引用，但不可全文另行刊出。

感谢史老师，健康长寿