讨论：误差与偏差的异同

                                讨论：误差与偏差的异同

                                                                                        史锦顺

（一） 基本知识：贝塞尔公式的推导
《史法测量计量学》摘引


-
（二）求测量值的平均值与期望值的距离
       令：
                     d_i = M_i – E     （随机误差）                              （1）
                     ν_i = M_i – M_平   （残差）                                   （2）  
       记D是测得值的平均值与期望值的距离
                      D = (1/N)∑d_i                                                    （3）
       将D平方再开方（史法）。
                      D² = (1/N²)(∑d_i)²
                         = (1/N²) [∑(d_i)²+2∑d_id_j(i≠j) ]
       由于正态曲线（钟形线）的对称性，∑d_id_j≈0。有
                     D² = (1/N²) (∑(d_i)²)               （4）
       《史法测量计量学》已证明，如（一）之（7.8式）：
                    ∑d_i² = [N/(N-1)]∑ν_i²                         （5）                                                                             
       将（5）代入（4）式，有
                     D² = (1/N²) [N/(N-1)]∑ν_i²
                       = (1/N) [(∑ν_i² )/(N-1)]
                       = (1/N) σ²
       得到：
                     D = σ / √N                                   （6）
       （6）是单值的正态分布曲线的结果。

       单值(M_i)的正态分布的钟形曲线，有下列参量:
       1 测量值系列 M_i；
       2 测量值的平均值 M_平；
       3 标准偏差；
       4 平均值对期望值的偏离D = σ / √N；
       5 以平均值为中心、以3σ为半宽的区间包含概率是99.73%.
-
      讨论题：基础测量（被测量是常量）与统计测量（被测量是随机变量），测量结果的表达，应有那些不同？
-

请史老就基础测量（被测量是常量）与统计测量（被测量是随机变量）先各列举五个实例。

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【史锦顺说明】主文有重要修改，重发如下。
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                               讨论：误差与偏差的异同

                                                                 史锦顺

（一） 基本知识：贝塞尔公式的推导
《史法测量计量学》摘引

（接上）

（二）求测量值的平均值与期望值的距离     
       令：
                     d_i = M_i – E     （随机误差）                （1）
                     ν_i = M_i – M_平   （残差）                    （2）  
       记D是测得值的平均值与期望值的距离（统计值）
                      D =(1/N)∑d_i                              （3）
       将D平方再开方（史法）。
                      D² = (1/N²)(∑di)²
                         = (1/N²) [∑(d_i)²+2∑d_id_j(i≠j) ]
       由于正态曲线（钟形线）的对称性，∑d_id_j≈0。有
                     D² = (1/N²) (∑(d_i)²)                     （4）
       《史法测量计量学》已证明，如（一）之（7.8式）：
                    ∑d_i² = [N/(N-1)]∑ν_i ² ]                    （5）                                                                                
       将（5）代入（4）式，有
                     D² = (1/N²) [N/(N-1)]∑ν_i²
                       = (1/N) [(∑ν_i² )/(N-1)]
                       = (1/N) σ²
       得到：
                     D = σ / √N                                                              （6）
       （6）是单值的正态分布曲线的结果。

       单值(M )的正态分布的钟形曲线，有下列参量:
       1 测量值系列 Mi；
       2 测量值的平均值 M_平；
       3 标准偏差 σ；
       4 量值平均值对期望值的偏离统计值 D = σ / √N；
       5  σ是标准偏差。3σ才是偏差范围。因此平均值对期望值的偏离范围是3D；
       6  以平均值为中心、以3σ为半宽的区间包含测量值（Mi）概率是99.73%；
       7  以平均值为中心、以3σ/√N 为半宽的区间包含期望值（E）的概率是99.73%.
-
       讨论题：基础测量（被测量是常量）与统计测量（被测量即讲究的对象是随机变量），测量结果的表达，应有哪些不同？

【  由于正态曲线（钟形线）的对称性，∑didj≈0 】？……其中的"求和"范围(项数)有多大？  如果是"无穷大"，成立；如果"足够大"（由此"足够大"项数样本值"统计"出的"概率密度"已非常接近那个"钟形曲线"---如果不做"额外"要求，此"足够大"项数不说数千、也可能要大几百！），大概成立； 如果项数只不过平常多见的数十项，若不要求"额外"的条件，是不能成立的！……这个"额外"条件就是:这些样本值之间相互"独立"---"互不相关"。……这些在"概率统计"理论中有明确论断。

老师好,向老师学习中.已经收藏,待慢慢消化.

史锦顺 发表于 2019-5-11 15:19
（接上）

（二）求测量值的平均值与期望值的距离     

请史老就基础测量（被测量是常量）与统计测量（被测量是随机变量）先各列举五个实例很难吗？这么久了没有看到。
那好，不举基础测量的了，只举五个统计测量的实例。记得您说计量（检定/校准）是统计测量，举例来看看。

都成 发表于 2019-5-12 19:28
请史老就基础测量（被测量是常量）与统计测量（被测量是随机变量）先各列举五个实例很难吗？这么久了没有 ...

常量和随机变量的概念问题还真需要议一议。

yeses 发表于 2019-5-14 07:38
常量和随机变量的概念问题还真需要议一议。

这是史老的独家观点，是需要好好议一议，我们一起来。可是五六天过去了连个实例都举不出来，怎么议？

补充内容 (2019-5-14 11:55):
到时也请“njlyx”先生来参议。

都成 发表于 2019-5-14 08:12
这是史老的独家观点，是需要好好议一议，我们一起来。可是五六天过去了连个实例都举不出来，怎么议？

补 ...

如果绝对"较真"，所有被测"量"都具有"随机"散布在一定范围内的无穷多个"量值"，即都是所谓"随机量"。

如果被测"量"的"量值"散布范围"小"到实用可以忽略不计，便成了具有"唯一量值"的所谓"常量"。

所谓"常量"与所谓"随机量"的"测量"是有区别的--

对于"常量"，"测量"一次就能得到有用的"测量结果"；"测量"多次，可以得到"更好"的（"不确定度"更小的）"测量结果"；

对于"随机量"，只"测量"一次的"测量结果"是没有"用"的，必须"测量"足够多次，才能得到有用的"测量结果"。

无论是"常量"，还是"随机量"，都可基于多次"测量"而进行"统计"。……不赞成史先生的"基础测量"/"统计测量"分类。

njlyx 发表于 2019-5-14 22:09
如果绝对"较真"，所有被测"量"都具有"随机"散布在一定范围内的无穷多个"量值"，即都是所谓"随机量"。

...

您说的很对。
关于史先生的"基础测量"/"统计测量"分类我也不同意，三年前就讨论过，他始终坚持，这是他的相关理论的基础，至关重要。这里他又提出了“基础测量（被测量是常量）与统计测量（被测量即讲究的对象是随机变量）”的讨论，我先让他举几个实例，可不知什么原因迟迟举不出来，要是很难就算了。

都成 发表于 2019-5-16 11:54
您说的很对。
关于史先生的"基础测量"/"统计测量"分类我也不同意，三年前就讨论过，他始终坚持，这是他的 ...

      如果不计较“基础测量（被测量是常量）与统计测量（被测量即讲究的对象是随机变量）”（未能理解“被测量即讲究的对象是随机变量”的确切含义？）的“分类”必要性与命名适宜性，讨论【 被测量是“常量”与被测量为“随机变量”时，测量结果的表达，应有哪些不同？】，我认为是有意义的！

在经典“测量误差理论”体系中——

    (1.1)   被测量X是“常量”时，“测量结果”是一个“测得值”D，附加“可能误差范围”E，即 X=D±E

         (1.1.1)  如果只测量1次，“测量结果”为  X=D1 ± Ey，其中，D1 为这1次测量的“示值”，Ey为所用测量仪器的示值误差“极值”；

         (1.1.2)  如果“重复”测量n次，“测量结果”为  X=Da ± Ea，其中，Da=(D1+D2+...+Dn)/n，为这n次测量的“示值”的平均值；Ea=√[ Eys^2+（Eyr^2）/ n]，Eys为所用测量仪器的示值误差“极值”Ey的“系统分量”，Eyr为所用测量仪器的示值误差“极值”Ey的“随机分量”——Ey=√[ Eys^2+Eyr^2]； Ea≤Ey。

    (1.2)   如被测量X是“随机变量”，“测量结果”至少要有两个“测得值”： “平均值” Xa 的“测得值”d、“标准偏差”σ的“测得值”s，并附加“它们的可能误差范围”Ed、Es，即
                Xa =d±Ed ； σ=s ± E s。
        这样的“测量结果”必须要多次“重复”测量才能得到！.....如果“重复”测量n次，则常取 d =(D1+D2+...+Dn)/n，为这n次测量的“示值”的平均值；Ed=√[ Eys^2+（Eyr^2）/ n]，Eys为所用测量仪器示值误差“极值”Ey的“系统分量”，Eyr为所用测量仪器示值误差“极值”Ey的“随机分量”——Ey=√[ Eys^2+Eyr^2]； Ed≤Ey；  s=√｛[（D1-d）^2+（D2-d）^2+...+（Dn-d）^2]/(n-1)}——即n次测量“示值”的所谓“实验标准偏差”；  E s通常忽略不给出。

在概率论中，随机变量仅仅指其值存在于一个概率区间的未知量，其所有可能取值构成一个随机分布，由数学期望和方差二个参数来表达（当然还有概率密度函数）。当一个随机变量的方差小到为0的时候，它就成了常量。常量是已知量，具有确切的数值。

被测量因为真值未知，所以都是随机变量，即使其值客观上处于恒定状态。

随机变量并不是仅指其数值客观上处于随时间随机变化状态。

将"客观存在"与人类"认知"有意搅在一起可能引起很多混乱。……即便不能"绝对"分清（世上少有"绝对"正确的事），也应适当的"实用"区分。……所谓"常量"，还是宜以"其客观取值实用近似唯一"为"准"，不论人们是否已经"知道"了它的"值"。   "不确定量"与"随机量"是可以有所区分的，前者着眼人们对它的"认识状态"，后者表达它的"客观取值情况"。   虽然"绝对"的"常量"并不存在，但"实用"常量不会因为张三还不知道它的"值"而改"性"（在张三眼里，它还是个"不确定量"--不知道它的"值"究竟是多少？ 但张三"知道"它的"值"只会是3、4中的某一个，不会早3暮4。）

A知道C的成绩是90分，90分就是常量。
B不知道C的成绩，C的成绩对于B来说就是随机变量，可用C所在班级的全部成绩统计出一个数学期望和方差来近似表达。

将"随机量"的"样本值"与"常量"混为一谈了……

A知道C的成绩是90分，"C的成绩"对于A而言，是个"确定量"；B不知道C的成绩，"C的成绩"对于B来说，就是个"不确定量"； 对于这个"不确定量"，B如果知道"C所在班级的全部成绩的统计特征值：数学期望、方差、…“，可由此获得"C的成绩"这个"不确定量"的"概率取值范围"，因为"C的成绩"是"所在班级成绩"这个"随机量（总体）"的一个"样本"值。

一旦"评分"完成，"C的成绩"就是一个"常量"了，无关A、B是否知道，它都是90分，不会变成其它分数。除非要"重新评分"，它才可能会变成一个"随机量"。

样本值就是常量，90分说破天都是常量。

概率本身就是主观的东西，A知道了90分，概率就是100%；B不知道实际分数，才有概率问题。

用大量已知事件（100%概率）做统计，去评价一个未知事件的概率，这就是概率论的思维方式。

njlyx 发表于 2019-5-17 16:03
一旦"评分"完成，"C的成绩"就是一个"常量"了，无关A、B是否知道，它都是90分，不会变成其它分数。除非要"重 ...

照这个逻辑，真值（测量实施时刻的真值）是常量。

但测量完成后测量结果也是常量，这样误差（最终唯一结果与真值之差）也是常量了。

njlyx 发表于 2019-5-17 15:53
A知道C的成绩是90分，"C的成绩"对于A而言，是个"确定量"；B不知道C的成绩，"C的成绩"对于B来说，就是个"不 ...

掌握的资料不同，给出的测量结果和不确定度评价就不同。

A：测量结果90分，不确定度0分。
B：用全班成绩的平均作为近似测量结果，用方差作为不确定度评价。

样本值都是常量，不可能用不确定的未知量作为统计样本。就是说，过去把统计出的方差赋予每个常量严格说是错误的，这种做法实际是重新把每个样本看作是未知不确定，但最后导致了一个悖论：最终测量结果---一个确定的常数---其方差不是0---还得把这个常数也重新看作是未知不确定---不然哪来不确定度？测量理论的逻辑纠缠不清了，这就是很多人难以理解不确定度概念的原因！

yeses 发表于 2019-5-18 07:04
照这个逻辑，真值（测量实施时刻的真值）是常量。

但测量完成后测量结果也是常量，这样误差（最终唯一结 ...

"常量"是基于"量"的"客观属性"定义的，现行的"（测量）不确定度"是对"量"的"客观属性"和人类"认识能力"的"综合"指标。………"常量"有"(测量)不确定度"很正常---人类由于"认识能力/测量能力"的局限，或不知道这"常量"的具体值是多少？或得到它的一个"测得值"时也不知道相应"测量误差"的具体值是多少？

      当被测量实用近似为"常量"时，什么"量"可能是"随机量"呢？-----"测量系统"的"测量误差"可能是"随机量"，多次"重复测量"时其"取值"（样本值）可能是"随机变化"的，但人们不知道这些"样本值"究竟具体是多少？ 相应的 "测得值"也可能是个"随机量"，多次"重复测量"时它"取值"（样本值）也是"随机变化"的，人们可以得到一系列"参差不齐"的具体"样本值"。由这两个"随机量"的"（测量）不确定度"可以"合成"被测"常量"的"测量不确定度"（此时，"测得值"这个"随机量"也"测量系统"的"测量误差"这个"随机量"的"相关系数"应该大于0！）---这是"测量系统"的"测量误差"有"随机误差分量"的情况！

       如果"测量系统"的"测量误差"没有"随机误差分量"，只有"系统误差"分量，那么，当被测量实用近似为"常量"时，便不会出现"随机量"了！……只有两个"不知道确切值"的"常量"---"被测量"、"测量误差"，和一个知道确切值的"常量"---"测得值"。

njlyx 发表于 2019-5-18 11:50
"常量"是基于"量"的"客观属性"定义的，现行的"（测量）不确定度"是对"量"的"客观属性"和人类"认识能力"的 ...

阅卷完成后90分的客观属性是常量，但B因为不知道学生的姓名而用全班的期望和方差作为其成绩的估计值，我们不能说他的做法不正确吧？---那么，岂不是常量变成了随机变量？

yeses 发表于 2019-5-18 12:01
阅卷完成后90分的客观属性是常量，但B因为不知道学生的姓名而用全班的期望和方差作为其成绩的估计值，我 ...

你这是将两个实际不同的"量"混为一谈了： "C同学的成绩"与"C同学所在班级任一个同学的成绩"是两个不同的"量"，前者只有一个可能的"取值"，是"常量"，后者有若干可能的"取值"，可算是所谓"随机变量"。…………你为了"化解"【"常量"没有"散布"，"方差"为0，怎么会有"测量不确定度"？】诘问，将"常量"与"确知其值的量"划了等号，会干扰人们的若干"常识"，不妥。

"常量"的"（测量）不确定度"源于"测量能力"的"不足"---包括"测量仪器"本身性能"参量"的"随机性"（是些"随机量"）以及 "校准能力"的"不足"。

　　常量也好，随机量也好，都是被测量，“保持不变”和“在一定范围内变化着”是两种被测量的基本特性。
　　但我认为被测“常量”应该是特定的“一个”量，“一个”量的量值在规定的时空条件下，是客观存在且保持不变的恒定的量，测量结果与这个客观存在保持不变的量的“真值”之差就叫做“误差”，这个误差以固定不变的“系统误差”形式存在着。因此，对于保持不变的“一个常量”的测量结果应该给出测得值（误差）和依据获得测得值的全部信息评估得到的测量不确定度。被测常量的例子例如一个球形工件的直径，一个回路的电压，一种材质的抗拉强度，某轴外圆的圆度误差等都属于单一被测测量的测量问题。
　　被测“随机量”则是指具有相似特性的“一堆”量。在规定的时空条件下，被测的这“一堆”量，因每个样本的个性差异而使测量结果在一定的范围内“随机”变化着，人们可以求得“一堆”量的平均值和实验标准差。平均值代表了一堆量的“期望”，是“众望所归”，但每个样本量都或多或少偏离这个“期望”，在一定的“包含”概率下，偏离的区间半宽就是“随机误差”。人们只知道一堆量中有的偏大，有的偏小，但都不会逃出以这个半宽确定的区间范围。因此，被测量为“一堆随机量”时，我们给出的测量结果是算数平均值及其实验标准偏差。被测随机量的例子例如某个国家人的寿命，某条线路乘客数量，某个城市的交通拥堵时间，某班级每个学生可能的考试成绩等等，均为一堆被测量的测量结果问题。
　　至于史老师所讲的“误差”与“偏差”的异同问题，我认为已经得到了大家共同认可，误差和偏差绝对值相等而符号相反，偏差其实与修正值具有相同的作用。需要提醒的是在几何量计量中，设计人员提出的计量要求以公称值（名义值）为参考对象，规定了上下两个允许误差值，即上下两个极限，分别称为上偏差和下偏差。