系统误差只能取“方根”，不能取“方差”
史锦顺
一段对话的出处：本网本栏目。史锦顺《科学实用的误差合成法》文章后的讨论。
2021年1月1日 csln先生说：
所谓系统误差，是重复性测量中保持不变的误差
2021年1月2日 史锦顺说：
“所谓系统误差，是重复测量中保持不变的误差”。正确。我所谓的系统误差的恒值性，是相对随机误差而言的，也就是这个意思。我说“恒值或恒值性”，其中的“恒”是相对的，没有永远不变的意思。而就我的合成理论来说，仅要求测量的时段内为恒值。
我对我的这个学术思想，表达得迂回而不精练。
先生直言“系统误差是在重复测量中保持不变的误差”，简洁又明确，以后我就这样解释。
以上的对话，刚刚过去五个月；yeses先生所称的“传统误差理论”，第一条，竟然是本版块讨论中，两个网民的对话。史锦顺从1963年参加计量工作至今，从来未看到那本书上有这种讲法。所以见到csln的讲法（只是就本版讨论所涉及问题的一种概括）很高兴，表示以后就按此方法表述。这那里是“传统误差理论”呢？作为叶先生学术评判的靶子，那是无可争议的；公开的言论，谁都可以批评。csln先生说这句话，乃是就事论事，也没必要在意谁有什么意见；但史锦顺却不然，此条乃是《史氏误差合成理论》的基础，是必须辨明的。其中的要点是：系统误差是误差合成中的主要部分。在时域统计（实际的测量计量都是时域统计）中，统计时段内系统误差是恒值。这可称为“视在系统误差”,它是各种系统误差在当场（统计时段内，最多几个小时）的值。测量仪器的系统误差，还包括有规的变化（如晶振的老化率）、无规的变化（如慢波动）、环境（如温度、海拔、磁场等）对误差量的影响。对这些系统误差的研究与实际处理，不能取“方差”（实际是方差的根），只能取“方根”、“均方根”、“方和根”。
原来，某量值X的方差，仅仅表达该量值的随机变化部分，定义式中的量值期望值（或以平均值代替）是被消掉的。贝塞尔公式中的被统计量单元是（X-X平）体现了这层意思。
测量中的测量值（指单个示值），可以表达为：
Xi= X+βi+ξi （1）
在计量标准的误差可略（易于做到，研究理论时则必须做到）的条件下，测量中得到的测量值Xi由三部分组成，如表达式（1）。
统计中（i从1到N），求量值的分散性的表征量时，实际值、系统误差（统计时段内的恒值）都被消掉了，得到的是随机量ξ的分散性的表征量。
量值的平均值为
X平=(1/N)∑Xi
=(1/N)∑(X+βi+ξi)
在统计时段内，实际值X是常量、视在系统误差βi是常量，则有：
X平=(1/N)[(NX+Nβ)+∑ξi]
=X+β +(1/N)∑ξi
Xi – X平 = X+βi+ξi –[X+β +(1/N)∑ξi]
= ξi - (1/N)∑ξi
=ξi （2）
随机误差ξi是标准正态分布。由于分布的对称性，∑ξi接近于零，其1/N就更小，根据微小误差可略法则，可略。
（2）式代入贝塞尔公式为
σ =√{ [1/(N-1)] ( Xi-X平)2 }
=√[1/(N-1)] ∑ξi2 ] （3）
由（3）可知，量值（测量值）X的标准误差，就是随机误差的方均根值。
对量值可以取方差，用的是其根值，称为标准偏差（测量中是标准误差）；测量中的随机误差，在表征误差量本身的性质以及处理合成关系时，不能再取方差（已经没有“差”的意思）。
用量值方差的基本定义，更容易证明。
设统计变量的量值为X，对其测量N次，测量值为Xi，i从1到N。平均值为：
X平=(1/N)∑Xi （4）
量值平均值的极限称期望值。记期望值为E
标准偏差的定义式为：
σ =√[ (1/N) ( Xi-E)2 ] （5）
请注意，随机误差的定义式
ξi = Xi - E （6）
将（6）式代入（5）式，即有
σ =√[1/N]∑ξi2 ] （7）
因此，量值的标准误差，就是随机误差元的方均根值。
处理误差量，必须取方均根，而再对误差元取“方差”、“偏差”、“标准偏差”、“标准误差”，那就犯了层次的错误。这些，对系统误差尤其重要。在“被测量量值”这个第一层次上，系统误差、随机误差都是“差”，是被测量量值（量的定义值、标称值、实际值、示值、测量值、测得值）之间的“差”。而在研究量值的系统误差、随机误差本身的场合，就是第二层次的问题时，不可再取“差”。对系统误差取“方差”，那就是消灭系统误差本身，就根本错了。
至于测量系统误差时的测量误差、测量随机误差时的测量误差，那是第三层次的问题，主要是计量标准的问题。不要把第三层次的问题混在第二层次中。
分清客观存在的三个层次，对误差理论的研究与应用，是十分重要的。
再重复一次。
对待系统误差，研究其本身的性质与合成关系，只能取“方根”“均方根”“方和根”，绝不能再对其取方差。一“差”，就把系统误差本身给消灭了，还能研究什么？（至于测量系统误差时的误差，那是计量标准的问题，是误差的误差，理应可以忽略，不然就没有研究系统误差、随机误差这种量值本身误差的资格。）
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