论单值的标准偏差与平均值的标准偏差—— 兼答csln先生

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                           论单值的标准偏差与平均值的标准偏差
                                                    —— 兼答csln先生
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                                                                                                             史锦顺
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【csln先生问】
       为什么计量检定/计量校准时不确定度评定就该用单值σ呢？
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【史答】
       单值的标准偏差与平均值的标准偏差的区分与不同的应用，是测量计量的重要课题。一两句话说不清楚。下面讲述测量计量中的具体应用，一比较，就界限分明了。
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       人们的认识，人们的工作，都有对象与手段的问题。测量计量工作，同样有对象和手段。
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       测量是用测量仪器来测知量值。量值是客观存在，是测量的对象。仪器是工具，是测量的手段。但在计量中，被检仪器却是工作的对象。
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1 基础测量
       经典测量学的测量对象是常量（有唯一的真值），我称其为“基础测量”。基础测量理论研究的范畴是手段的问题，就是测量的误差问题。测量误差是测量仪器引入的。分析误差，就是分析仪器的误差。（在正常应用的条件下，环境等的影响，包含在仪器指标中。）
       仪器的误差，是手段问题。手段不良，可以改善。多次测量取平均值，可以减小随机误差。σ变成σ_平。在基础测量中，测得值是仪器示值的平均值M_平，随机误差范围是3σ_平。
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2 统计测量
       统计测量的对象是随机变量。被测量时刻在变化，每次采样，各不相同。统计变量的表征量是：1）平均值；2）单值的σ；3)偏差范围3σ（偏差范围是量值与平均值的偏离的绝对值的最大可能值；3σ的包含概率，正态分布99.73%，通常可能夹杂有t分布，可估计包含概率为99%）。
       统计变量的代表值是平均值M_平，但不能用σ_平当量值分散性的表征量。σ_平的数学期望值是零，不能表征量值的分散性。σ的数学期望是常量，是分散性的表征量。
       用σ表达分散性，3σ(随机偏差范围)的包含概率大于99%.
       如果用σ_平，则偏差范围3σ_平对随机变量量值的包含概率很低。例如，测量次数N=100，3σ_平=3σ/10=0.3σ，其对量值的包含概率是23.6%（正态分布,概率密度函数积分值是0.1179）。
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3 对测量仪器的检定
       判别测量仪器的合格性，是计量的基本任务。
       测量仪器的误差范围的指标值，由三部分构成。系统误差、随机误差和长期稳定性。长期稳定性，有些仪器标出，如福禄克电压表，高稳晶振。一般仪器的长期稳定度，不标出，但默认可略，就是要小于误差范围指标值的1/10。检定中考核的对象是示值的系统误差与随机误差。重点是系统误差。
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3.1 计量的性质
       在测量中，测量仪器是手段，测量对象是量值（常量或统计变量）。
       在计量中，测量仪器是对象，计量的手段是计量标准（包括附属设备）。
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       计量的操作，就是用计量标准确定被检仪器的系统误差值和随机误差范围（3σ）。
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       对精密仪器的计量，示值有随机变化，不能只测一次。多次测量的目的是对示值进行统计，以准确地测定系统误差值，并统计出示值随机误差的最大可能值。测定系统误差时的视在误差范围（以标准的标称值B为参考），是3σ_平；测定系统误差时的误差范围（以标准真值为参考）是测量仪器的3σ_平与计量标准的误差范围R_标的合成值（方和根值）。
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3.2 检定的操作与计算
       统计方法找误差元绝对值的最大值。
       设标准的真值为Z，标称值为B，仪器示值为M_i，测量N次。
       1）求示值平均值M_平。
       2）按贝塞尔公式求单值的σ。
       3）求平均值的σ_平
                 σ_平= σ/√N
       4）求系统误差视在值
                 β_视= M_平－B                                                                      （1）
       5）系统误差的视在误差范围是3σ_平。
       6）单值随机误差范围是3σ。
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3.3 示值误差范围的计算
       A 示值视在误差（以标准标称值为参考）计算
       视在误差元
                 Δi = Mi – B
                    =(Mi – M_平) + (M_平 – B)
                    = ξi + β_视             
       视在误差绝对值的最大值（视在误差范围）
                 |Δ|_max=√[β_视² +(3σ)²]                                                        （2）
       被检测量仪器示值的视在误差范围由系统误差范围β视与示值的单值随机误差范围3σ合成。
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3.4 合格性判别
       计量的误差由计量标准的误差范围R标决定。
       A 合格的判别式
               |Δ|_max ≤ MPEV–R_标                                                                 （3）
       B 不合格判别式
               |Δ|_max ≥ MPEV + R_标                                                               （4）
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4 校准
       校准操作与检定的操作相同。
       校准也应该给出合格性判断（同于检定）。
       校准的重点是给出修正值。
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4.1 修正值误差的推导
       修正值C等于系统误差值β的反号。
       系统误差β定义为期望值EM与真值Z之差。
                 β = EM-Z                                                                                （5）
       测量时得到的系统误差的视在值为β视，
                 β_视=M_平-B                                                                             （1）
       测量系统误差时的误差为：
                 r_β = β_视 - β
                     =(M_平- B) – (EM-Z)
                     = (M_平-EM) + (Z-B)                                                           （6）
       （6）式是误差元公式。注意还应加上分辨力误差。三项合成（取最大值的方和根值），误差范围为：
                 R_β =√[(3σ_平)² + R_标² +分辨力误差²]                                                   （7）
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4.2 校准不确定度的实质
       当今，在不确定度理论指导下的校准，给出的修正值是（-β_视），而校准不确定度，就类似于（7）式，包含内容就是（7）式包含的三项。（置信因子不同；这里是“范围合成”，不确定度理论绕路用方差合成。）
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       通常，扩展不确定度相当于仪器误差范围（包含概率有差别；物理意义相同）。而校准中给出的扩展不确定度U₉₅，是计量部门确定系统误差时的误差范围（即修正值的误差范围），这个值是有用的，用以判别该不该修正：如果R_β/β≤1/3，修正有意义；如果R_β与β大小差不多，就没必要修正；而当R_β比β大时，则修正加大误差，修正就是错误操作了。
       当前校准业务给出的不确定度，不是通常意义的被检仪器的示值的包含被测量真值区间的半宽，而是测定系统误差时的误差范围，是上级计量机构的测量能力。此点在广大用户中，引起理解与应用中的很多混乱。这是不确定度理论的“混沌性”的一种。
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       医院该告知的是病人的病情；现在医院给出医生的健康状态，怎能不引起误解？
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借史老的帖子转发 “《通用计量术语及定义》JJF1001-2011规范修订中最突出的变化 -学习JJF1001-2011规范的体会和认识之一”（作者 金华彰）一文中的一段话：

一﹑VIM第3版是包容不同观点的折中方案
ISO/IEC GUIDE 99:2007《国际计量学词汇-基础通用的概念和相关术语》﹙VIM第3版﹚，据了解在修订中遇到了很大困难，主要是对真值的概念和作用；测量的目的；如何定义测量结果；如何描述测量的质量，存在着不同认识，所以VIM第3版是包容不同观点的折中方案。现实中对测量有3种描述方法，并在不同领域中正在广乏使用，同时又提出了第4种折中方案，即：1.经典方法﹙即误差方法﹚；2.GUM关于测量不确定度方法；3.IEC测量结果的兼容性方法；4.约定值混合法（将误差与不确定度同时使用的方法）。VIM第3版实际上采用了误差与不确定度同时并存的第四种方法。

第4种方法，即约定值混合法。
约定值混合法就是鉴于“误差”一词的使用仍然如此广泛，因此保留了该术语，用“误差”同时引入“不确定度”，即“误差”和“不确定度”同时使用，以判定被测量值是否附合要求或法律规定的方法，称“约定值混合法”。
该方法分为二步：
1）.第一步，用更高等级的计量标准对测量标准进行校准，该测量标准得到的测得值的平均值称为约定值，该给出的约定值是具有不确定度的；
2）.第二步，用上述测量标准第二次去校准低等级的计量器具时，可用约定值来评定误差，这种误差可用数字表示，即相对约定值的差。可从低等级的计量器具上得到的测得值与测量标准约定值之差，它是被校准计量器具的系统误差中的己知部分。测得值的误差由系统误差中的未知部分、系统误差中的己知部分及随机误差三部分组成。约定值混合法的优点是当约定值不确定度很小时可以直观的使用，即被评定的低等级的计量器具的示值误差在其最大允许误差限内时，即可判定为合格，不需要进行不确定度分析。
实例：用标准法码校准一个秤，砝码为经过高等级标准校准过的测量标准，秤为低等级的计量器具。秤的示值可和标准法码的约定值比较，即示值－约定值（即标准值）＝示值误差，可知误差和法律法规最大允许误差比较，就可决定秤是否附合要求。
约定值混合法当约定值的不确定度很小时可以使用。这种方法使用直观实用，对准确度高的计量标准用不确定度评定，既科学合理又全面；而对准确度低的计量器具开展检定或校准用误差方法既方便又实用，尤其对制造计量器具生产厂对产品进行出厂检验，和开展计量器具首次检定或随后检定或校准都十分方便。这是一种现实可行的实用方法，避兔使用真值或约定真值，而用约定值，而得到了大家的认可和接受，在术语上进行了协调。我理解，误差和不确定度并存，是VIM第3版最突出的变化。

统计变量的代表值是平均值M平，但不能用σ平当量值分散性的表征量。σ平的数学期望值是零，不能表征量值的分散性。σ的数学期望是常量，是分散性的表征量。
       用σ表达分散性，3σ(随机偏差范围)的包含概率大于99%.

赞同！！

但重点是“校准/检定”是属于“基础测量”还是属于“统计测量”呢？

       先生目前对校准不确定度实质的看法，跟我基本一致了。判定问题我的看法是，校准机构本质上是检测机构，就好比医院的体检中心，只给体检报告,不给出具体的医疗判定，更不用给出治疗方法，最多给些合理性建议，判定加医治（对仪器来说就是维修）由其它更专业的部门的人来完成，判定步骤肯定是有的，只是不一定要由校准机构进行了，给了客户在使用上很大的自由性。如果客户需要检测和判定一起进行，那他直接要求出检定证书就可以了啊，体现我国双轨制的优越性，强制检定的仪器更不用客户说，那是必须是有判定结果的。

关于两类测量的问题，论坛上已争论过N次了，不想说什么，但既然史先生提到了我，就不得不回复

先不论两类测量划分有没有意义，但说计量是统计测量根本就站不住脚

比如用一台5730A检定3440A，按史先生的分类，是统计测量，若是用3458A检定一只标准电阻，还是统计测量吗？用量块比较仪和标准量块检定量块呢？用电子天平检定标准砝码呢？

何必 发表于 2016-11-30 09:43
统计变量的代表值是平均值M平，但不能用σ平当量值分散性的表征量。σ平的数学期望值是零，不能表征量值的 ...

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                               有随机误差的仪器的计量是统计测量
                                                      —— 答何必先生
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                                                                                                               史锦顺
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（一）关于两类测量
       关于两类测量（基础测量与统计测量）的学术思想，是我提出来的。在认知量值的应用测量场合，是客观的、严格的。其应用意义也是明显的。任何搞测量的人都应该明白，应该会运用。
       要点：
       1 基础测量
       被测量是常量（有唯一真值），测量仪器有误差。此时测量仪器的示值的随机变化，由测量仪器引入，是手段的问题。手段不良可以改进。改进方法是进行重复测量。重复测量N次，计算单值的标准误差σ；σ除以根号N,得平均值的标准误差σ_平，随机误差范围缩小至1/√N.
       用示值的平均值M_平为被测量的测得值，随机误差范围是3σ_平.
       以上知识与操作，测量者都懂得。我写出来，是为与下一条相比较。
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       2 统计测量
       被测量是统计变量（随机变化的量）。测量仪器的误差范围远小于统计变量的变化范围。测量误差可略，测得值各个是相对真值，就是被测量的量值（简称量值）。
       量值的变化，是被测量本身的变化，是对象的问题。对象的问题，必须如实反映，不能人为地缩小。计算出的σ，就是量值分散性的表征量，不能除以根号N.
       有人说：取单值，用单值的标准偏差σ；取平均值，用平均值的标准偏差σ_平。这个说法是错误的。多次测量后要用平均值M_平代表被测的量值，但表征量值分散性的是σ，而不是σ_平。对正态分布，区间[M_平-3σ，M_平+3σ]对量值的包含概率是99.73%；而区间[M_平-3σ_平，M_平+3σ_平]对量值的包含概率，N=100时是23.6%.
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       GUM引出不确定度概念时，称σ_平为标准不确定度。这对基础测量的随机误差是可以的；但对统计测量，错了。统计变量的分散性的表征是单值的σ，而不是σ_平。就是说，在统计测量场合，标准不确定度的定义不成立。
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       有了“两类测量”的概念，就可以判断当今的当家理论不确定度理论，对统计测量来说，基本定义错了。仅凭这一点，就说明“两类测量”概念的功力不小。
       炮制不确定度论的几个美国人，以及制定中国国家计量规范的各位权威人物，都不懂得区分两类测量，否则不会出现如此简单的错误。
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（二）对有随机误差的仪器的计量是统计测量
       两类测量划分的思想，我是在二十五年前就有的。其中的统计测量不能剔除异常数据、统计测量的σ不能除以根号N，在重要工程中发挥过作用，受到军代表丁国祯教授在鉴定会上的肯定与称赞。但，那时仅限于测量领域。
       大约在2011年，我写系列宣传测量计量新概念文章时，想到两类测量的思想，可以推广到计量。
       在网上说出“计量是统计测量”这个想法后，反对者颇多。反对最力的是都成先生。仅有国家计量院的崔伟群先生赞成“计量不能剔除异常数据，因为数据异常可能是仪器有毛病”这一条。
       如果我当时说：“对有随机误差的测量仪器的计量是统计测量”，大概就容易被接受些。可惜，今天才想出。何必先生发问，推了我一把。
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       我曾把基础测量与统计测量区分的条件推广，就是看手段的指标与对象的指标二者的比较。手段的指标远小于对象的指标，就是“统计测量”。
       计量符合广义的条件，因此应称“计量是广义统计测量”。
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       为了如实反映计量的实际，一种办法是扩大统计测量概念的范围；另一种办法是缩小被检对象范围。可以说：计量是广义统计测量；也可以说：对有随机误差的仪器的计量是统计测量。这次我把说法，换成最后这第三种，如标题：有随机误差的仪器的计量是统计测量，不知能否被接受。
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       有不同意见，与个人的经历、水平有关；但更主要的是事物本身的复杂性。在“误差”概念的家族中，有几十种名称，各有其作用。在不确定度概念的家族中，仅有标准不确定度、合成不确定度、扩展不确定度三个，而且是顺序处理中的三个阶段，本质只有一个概念，就叫测量不确定度。一个概念，如何应付众多的需要？于是就出现大量的混淆。上级校准给出的“不确定度”，规矩湾说是可信度，有人说是示值的不确定度。老史几个月前才明确算出是测定系统误差时的误差范围。可以叫“系统误差的不确定度”，但没人这样说。不确定度的宣贯中是不允许称说“系统误差”的。不确定度论误人误事。
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       回到前题。鉴于对“计量是统计测量”的异议颇多，主帖没有提及这个说法，而是直接论述两个σ的区分。其实，有明确的“两类测量”的概念，就不会忽视两个σ的区分。
       两类测量的思想，见仁见智，赞成还是反对都无所谓，因为仅仅是认识方法。而测量计量应该怎样表达才是本质问题。两个σ必须区分，表达上的不妥，必须纠正。
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       老史基于两类测量的思想，明确指出：仪器指标中的随机误差范围，必须是3σ；检定中的|Δ|_max必须包括3σ，而不是3σ_平。校准中的合格性判别（CNAS称符合性声明），也必须如此。
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       校准后，仪器性能指标的表达，不论修正还是不修正，都应该包括3σ.
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史锦顺 发表于 2016-12-1 15:12
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                               有随机误差的仪器的计量是统计测量
                                  ...

       首先，史老写的一些文章、观念对我学习起了很大的帮助，先表示感谢！也基本赞同史老提出的“关于两类测量”的划分。
      
       其次， 随机变量分散性的表征量值是σ，而不是σ平，我想学过统计学的人应该都能够理解的。

       再次，之前史老说“计量（校准/检定）”属于“统计测量”的这种情况对于校准/检定实物量具好像解释不同，所以才有如此疑问。

       最后，对“有随机误差的仪器的计量是统计测量”的情况，个人暂时接受，因为暂时还找不出反证的例子！

一个概念，如何应付众多的需要？于是就出现大量的混淆。上级校准给出的“不确定度”，规矩湾说是可信度，有人说是示值的不确定度。老史几个月前才明确算出是测定系统误差时的误差范围。可以叫“系统误差的不确定度”，但没人这样说。不确定度的宣贯中是不允许称说“系统误差”的。不确定度论误人误事。

老史几个月前才明确算出是测定系统误差时的误差范围。可以叫“系统误差的不确定度”，已经非常接近JJF 1059不确定度的物理意义了，不确定度本质是测量结果（测量值）可能存在的区间，对于检定，理解成测量系统误差时的误差范围有道理，不过测量结果不一定是系统误差，也可能只有随机误差，对于校准就未必了，大多校准根本就不计算误差，说是测定系统误差时的误差范围就牵强了，不过值是相同的，JJF 1059.1的例子中已经很明确示值误差、校准值、修正值具有相同的不确定度

既然几个月前才明确算出是这样，那过去对不确定度质疑和批判莫非就没有需要更正的

史锦顺 发表于 2016-12-1 15:12
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                               有随机误差的仪器的计量是统计测量
                                  ...

此贴删除。

史锦顺 发表于 2016-12-1 15:12
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                               有随机误差的仪器的计量是统计测量
                                  ...

先向史老问一声好！
关于“计量是统计测量”和 “交叉系数”是否可用，在春节刚过时向您做了最后陈述，我的观点至今未变，这是您的两大败笔，在这两大败笔的引导下又产生了许多次生错误观点，这里我不想再做重复论证，您对我以前的帖子应该历历在目，可以自己翻阅。
您说：“在网上说出“计量是统计测量”这个想法后，反对者颇多。反对最力的是都成先生。仅有国家计量院的崔伟群先生赞成“计量不能剔除异常数据，因为数据异常可能是仪器有毛病”这一条。”
很明显，这里崔先生没有赞成您“计量是统计测量”的观点，csln先生也不赞成，还有多少人也不赞成，您应该比我更清楚，您应该好好审视。“交叉系数”也是如此。
近一年来我没怎么发帖，因为没有多少新东西和新观点，说多了别人又说炒冷饭，只是前些日将发表的两篇文章贴出来，供大家参考，这也是近两年对发帖的一点总结，还有一篇论述测量不确定度与误差理论关系的文章，将在《计量学报》2017年第1期发表，到时再贴出来供参考。
测量不确定度就是测量结果可能误差的度量。
测量不确定度评定与表示（GUM、1059、1059.1）就是对误差理论相关内容的发展和取代（从概念和处理方法上）。
史老您用了“误差元”和“误差范围”的概念与“误差”和“不确定度”相对应，您的这种发展处理好了估计也可以，只是“计量是统计测量”和 “交叉系数”的两大败笔促使您错误的批判不确定度论，也会使您的理论发展不科学。望您老三思。

测量不确定怎么通俗的来定义是个问题，由于“测量结果的最佳估计值”±U”=”包含区间“。我认为称之为：U是“包含区间”半宽度的绝对值，也很通俗易懂，前提是"包含区间”是对称的，由于有非对称情况的存在，还不能一律这么理解。或者称之为“最佳估计值暂时无法进一步确定的程度，是包含区间的组成部分之一”，但这样听起来又不是那么直观了。

csln 发表于 2016-11-30 15:16
关于两类测量的问题，论坛上已争论过N次了，不想说什么，但既然史先生提到了我，就不得不回复

先不论两类 ...

经典误差理论中确有提到不用σ平的，但与所谓基础测量、统计测量无关，情况是：如果被测对象的值是不稳定的，测量装置的重复性相对来说很好，则用σ表征被测对象值的随机波动性或稳定性，因为被测量的平均值测量中捕捉不到，本质上平均值就不存在，n次测量实际是对n个不同量值的测量，自然不能用σ平来表征，比如频率源的稳定性的表征。（见肖明耀先生著《误差理论与应用》，计量出版社，1985年8月版，P60）

σ平的极限是0，本来就是理所当然的事，如果一个被测量的值存在平均值，有人愿意进行无穷多次测量，自然就不存在N个测量次数n为无穷大的平均值，只有一个平均值，其分散性当然是0